2024-2025学年北京市理工大学附属中学高二上学期12月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市理工大学附属中学高二上学期12月月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线y29−x216=1的渐近线方程为( )
A. y=±34xB. y=±43xC. y=±45xD. y=±54x
2.已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0，则两圆的公共弦所在直线的方程为( )
A. x+y+2=0B. x+y−2=0C. x+y+4=0D. x+y−4=0
3.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m//α，α//β，则m//β
C. 若m//α，α⊥β，则m⊥βD. 若m//n，m⊥α，则n⊥α
4.以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是( )
A. y2=8xB. y2=−8x
C. y2=8x或y2=−8xD. x2=8y或x2=−8y
5.“a=0”是“直线x−2ay+1=0与直线(a−1)x+ay−1=0平行”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知抛物线y2=12x的焦点为F，点P在抛物线上，定点Q(5,2)，则|PQ|+|PF|的最小值为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.已知椭圆C:x22+y2=1，直线l:y=x+3，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为( )
A. 3− 3 2B. 2+ 3 2C. 3+ 3 2D. 2
8.古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，M为PB中点，某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高PO=2，底面半径OA=2，则该抛物线焦点到准线的距离为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
9.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1−2 3,0,F22 3,0，离心率分别为e1,e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2=π3，若e1= 33，则双曲线C2的方程为( )
A. x29−y26=1B. x29−y23=1C. x212−y29=1D. x24−y28=1
10.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与 (x−a)2+(y−b)2相关的代数问题，可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.若曲线C: (x+1)2+y2+ (x−1)2+y2=2 2，且点M，N分别在曲线C和圆：x2+(y−2)2=8上，则M，N两点间的最大距离为( )
A. 52+2 2B. 72+2 2C. 3+2 2D. 4+2 2
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线l经过点P1, 3且与直线 30垂直，则直线l的方程是 ．
12.已知点1,2在抛物线C:y=ax2上，则抛物线C的准线方程为 ．
13.双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线为y=12x，则其离心率为 ．
14.过点P−1,1作直线与椭圆x24+y22=1交于A,B两点，若线段AB的中点为P，则直线AB的斜率是 ．
15.造型∞在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为F1,F2，焦距为4，若动点M满足MF1MF2=4，则动点M的轨迹Ω就是一个双纽线.下列说法正确的是 ．
①轨迹Ω仅经过一个整点(即横､纵坐标都是整数的点)；
②若点M位于椭圆C上，且∠F1MF2=π2，则C的离心率为 33；
③点M与原点O之间的距离不超过2 2；
④若直线y=kx与曲线Ω有且仅有一个公共点，则k≥1或k≤−1．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知点2,−3在圆C:x2+y2−8x+6y+m=0上．
(1)求该圆的圆心坐标及半径长；
(2)过点M1,−1，斜率为−43的直线l与圆C相交于A,B两点，求弦AB的长．
17.(本小题12分)
曲线C:x23+m+y2m−1=1(m≠−3且m≠1)
(1)若曲线C表示双曲线，求m的取值范围；
(2)当m=0，点P在曲线C上，且点P在第一象限，F1−2,0,F22,0,PF1⊥PF2，求点P的横坐标．
18.(本小题12分)
已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,P为椭圆C上一动点，设∠F1PF2=θ，当θ=2π3时，▵F1PF2面积取得最大值 3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点B0,2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N(M在B,N之间)，问S▵OBMS▵OBN是否存在最值，若存在最值，请求出；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.C
5.D
6.C
7.C
8.B
9.D
10.C
11.x+ 3y−4=0
12.y=−18
13. 52/12 5
14.12/0.5
15.①③④
16.解：(1)∵点(2,−3)在圆C：x2+y2−8x+6y+m=0上，
∴22+(−3)2−16−18+m=0，
解得m=21．
∴圆C的方程为(x−4)2+(y+3)2=4，
∴圆心C坐标为(4,−3)，半径r=2．
(2)依题意，直线l的方程为y+1=−43(x−1)，即4x+3y−1=0，
则圆心到直线l的距离为d=|16−9−1| 42+32=65，
∴|AB|=2 4−(65)2=165．
17.(1)由曲线C:x23+m+yzm−1=1表示双曲线，得(3+m)(m−1)0，解得k2>34，
又由韦达定理可得，x1+x2=−16k4k2+1,x1x2=124k2+1,
因为S▵OBMS▵OBN=12×OB×x112×OB×x2=x1x2，
因为x1x2=124k2+1>0，所以S▵OBMS▵OBN=x1x2，
x1+x22x1x2=x12+x22+2x1x2x1x2=x1x2+x2x1+2=−16k4k2+12124k2+1=13×64k24k2+1=13×644+1k2，
因为k2>34，所以0