（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第01讲 三角函数（2份，原卷版+教师版）

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一．同角三角函数的基本关系
1.平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
2.商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan α( α≠k·eq \f(π,2)＋αk∈Z)
3.公式变形：
sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α．
sin α＝tan αcs α( α≠k·eq \f(π,2)＋αk∈Z)．
二．三角函数的诱导公式
1.公式
2.诱导公式的记忆口诀
奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·eq \f(π,2)＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数．
“变”与“不变”是指函数的名称的变化．
“符号看象限”指的是在“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
三．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ
2．cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ
3．sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ
4．sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ
5．tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
6．tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
四．二倍角公式
1．基本公式
(1)sin 2α＝2sinαcsα；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)．
2．公式变形
(1)降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α；
(2)升幂公式：cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2)))2；1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))2．
（3）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)
五．积化和差与和差化积公式
1．积化和差公式


2．和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin eq \f(α＋β,2)cs eq \f(α－β,2) sin α－sin β＝2cs eq \f(α＋β,2)sin eq \f(α－β,2)
cs α＋cs β＝2cs eq \f(α＋β,2)cs eq \f(α－β,2) cs α－cs β＝－2sin eq \f(α＋β,2)sin eq \f(α－β,2)
一．常见的弦化切的结构形式
1.sinα、cs α的一次齐次分式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(如\f(a sin α＋b cs α,c sin α＋d cs α))) ，解决此类问题时，用分子分母同时除以cs α，将其转化为关于tan α的式子，进而求解．
2.sin α，cs α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcs α＋c cs2α)，解决此类问题时，将原式看成分母是1的表达式，把1换成“sin2α＋cs 2α”，然后用分子分母同时除以cs 2α将其转化为关于tan α的式子，进而求解．
二．弦的和差积形式
对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二.
诱导公式
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
角的变换（角的拼凑）
1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
3.常见的互余关系有eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等，
常见的互补关系有eq \f(π,6)－θ与eq \f(5π,6)＋θ，eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等.
常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；
β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－(eq \f(π,4)－α)等．
五．三角函数式化简
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
六．证明三角函数恒等式
1.如果需证的三角函数恒等式中只含同角三角函数，则可以从变化函数入手，即尽量把等式中所含三角函数都化为正弦和余弦或全部化为某一函数，虽然能达到最终目标，但这种方法不一定最简单；
2.如果需证的三角函数恒等式中含有不同角的三角函数，则宜从角的简化入手，尽量化复角为单角，或者减少不同角，以便能使用某一公式进行变形；
3.在证明三角函数恒等式中，“1”出现的频率较高，则可把“1”代换为sin2α＋cs2α或tan 45°等．
考法一 同角三角函数公式的知一求二
【例1-1】已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】已知α是三角形的内角，且tan α＝－ eq \f(1,3) ，则sin α＋cs α的值为________．
【一隅三反】
1．(多选)若sin α＝ eq \f(4,5) ，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
A．tanα＝ eq \f(4,3) B．cs α＝ eq \f(3,5)
C．sin α＋cs α＝ eq \f(8,5) D．sin α－cs α＝－ eq \f(1,5)
考法二 弦切互换
【例2-1】已知，则__________.
【例2-2已知为锐角，满足，则________．
【一隅三反】
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值是__________．
考法三 弦的和积转化
【例3-1】已知，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则用表示的值为___________.
考法四 诱导公式
【例4-1】若，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】已知，则_______．
【一隅三反】
1．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．(多选)下列化简正确的是( )
A．tan(π＋1)＝tan 1 B．eq \f(sin－α,tan360°－α)＝cs α
C．eq \f(sinπ－α,csπ＋α)＝tan α D．eq \f(csπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝1
考法五 和差倍角公式的运用
【例5-1】下列化简不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（多选）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．的值等于 B．若，则
C． D．
考法六 角的拼凑
【例6-1】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】若，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．已知，则（ ）
A． B． C．- D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
考法七 简单三角恒等变换
【例7-1】已知，则的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】若两个锐角，满足，则______.
【一隅三反】
1．（ ）
A． B． C． D．6
2．若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．若，则__________.
第四章 三角函数 章节复习
一、单选题
1．已知角的终边过点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递增
D．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
8．关于函数，则下列结论正确的有（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为 D．在单调递增
9．已知，，，下列选项正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 ．
11．已知，都是锐角，，则= .
12．已知均为锐角，，则的最小值为 .
四、解答题
13．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.
14．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)已知在时，求方程的所有根的和.
三角函数 随堂检测
1．已知直线的倾斜角为，则（ ）
A．-3B．C．D．
2．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C．3 D．9
3．（ ）
A． B． C． D．
4.若为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）已知 ，，则（ ）
A． B．
C． D．
7.计算：__________.
8.已知，则______.
9.已知，，且，，求=
10.已知，则
11．若函数，则的最小值是 ．
12．已知函数的最小正周期为，且，
(1)求；
(2)将图象往右平移个单位后得函数，求的最大值及这时值的集合．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sinα
－sinα
sinα
csα
csα
余弦
cs α
－csα
csα
－csα
sinα
－sinα
正切
tan α
tanα
－tanα
－tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限