（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第02讲 解三角形（2份，原卷版+教师版）

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一．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
二．三角形常用面积公式
1.S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．
2.S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin_B＝eq \f(1,2)bcsin_A．
3.S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
三．三角形解的判断
四．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cs C＋c cs B；b＝a cs C＋c cs A；c＝b cs A＋a cs B．
五．盘点易错易混
1．利用正弦定理进行边角互换时，齐次才能约去2R
2.三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
3．判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
一．正、余弦定理的选用
1.正弦定理：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
2.余弦定理：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
二．求解三角形面积问题
1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
2.若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
三．选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
2.若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
4.代数式变形或者三角恒等变换前置；
5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
考法一 常见的边角互换模型
【例1-1】在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（ ）
A． B．1 C． D．
【例1-2】已知的内角的对边分别为，设，，则 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（ ）
A． B． C． D．
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（ ）
A．4 B．6 C． D．
3．（多选）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
考法二 三角形的周长与面积
【例2-1】在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为______.
【例2-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B；
(2)若c＝3a，D为AC中点，，求的周长．
【一隅三反】
1．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，C为钝角，且.
(1)求角B的大小；
(2)若的面积为6，求的周长.
考法三 三角形的中线与角平分线
【例3-1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求B.
(2)若，，___________，求.
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【例3-2】已知为的内角所对的边，向量,，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，且，求线段的长．
【一隅三反】
1.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且.
(1)求角C的大小；
(2)若的平分线交AB于点D，且，，求的面积.
2.设的内角所对的边分别为，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，边上的中线，求的面积．
考法四 三角形中的取值范围
【例4-1】在锐角中，内角的对边分别为，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】在中，，则的最小值（ ）
A．-4 B． C．2 D．
【例4-3】已知在中，角，，的对边分别是，，，面积为，且_____．
在①，②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．
(1)求；
(2)若，点是边的中点，求线段长的取值范围．
【一隅三反】
1.在中，角、、所对的边分别为、、，，的平分线交于，若，则的最小值为____.
2.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccsC=bcsA+acsB.
(1)求角C的大小；
(2)若，求的周长的取值范围.
3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
考法五 三角形解的个数
【例5】由下列条件解，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【一隅三反】
1.中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.在下列关于的四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是：（ ）
①；②；③；④.
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
考法六 正余弦定理在几何中应用
【例6-1】如图，在中，，点在边上，．
(1)求的长；
(2)若的面积为，求的长．
【例6-2】如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.

(1)求的面积；
(2)求的值及的长度.
【一隅三反】
1．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，，.

(1)求；
(2)求的面积.
2.平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．
(1)当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记与的面积分别为和，请求出的最大值．
平面向量与解三角形 章节测试
一、单选题
1．在中，若，则一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形
2．在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知中，角对应的边分别为，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．4
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．在△ABC中，已知a＝2b，且，则（ ）
A．a，c，b成等比数列 B．
C．若a＝4，则 D．A，B，C成等差数列
6．在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（ ）
A． B．2 C． D．
三、填空题
7．在中，，D为BC边上一点，且，则的最小值为 .
8．在中，角的对边分别为， ，，若有最大值，则实数的取值范围是 .
四、解答题
9．已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若．
(1)求角的值；
(2)若，求面积的最大值．
10．在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若D为边上一点，满足，，且______．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
11．在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值.
12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的取值范围．
解三角形 随堂检测
1．中，是角的对边，，则此三角形有（ ）
A．一个解 B．2个解 C．无解 D．解的个数不确定
2.在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
3.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（ ）
A．B．C．D．
4.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．1
6.在中，，，分别是角，，的对边，记外接圆半径为，且，则角的大小为________．
7.在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则______．
8.在中，若，则的最大值为______．
9.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若，求的面积.
10.已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs_A；
b2＝c2＋a2－2cacs_B；
c2＝a2＋b2－2abcs_C
变形
边化角：a＝2Rsin A b＝2RsinB c＝2RsinC
角化边：sin A＝eq \f(a,2R) sin B＝eq \f(b,2R)， sin C＝eq \f(c,2R)；
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC
eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
A为锐角
A为钝角
或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A