（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第03讲 数列求和方法（2份，原卷版+教师版）

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一．公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
1.等差数列的前n项和公式Sn＝ eq \f(n（a1＋an）,2) ＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d．
2.等比数列的前n项和公式Sn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
二．裂项相消法
1.通项特征
（1）分式：分为可拆成偶数个同类因式相乘
（2）根式：利用平方差公式进行有理化
2.解题思路
三．错位相减法
1.通项特征
或
2.解题思路
四．分组转化求和法
1.通项特征
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)若an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数，)) 且数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
2.解题思路
五．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和
1.通项特征
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
2.解题思路
五．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解
1．并项求和时不能准确分组；
2．用错位相减法求和时易出现符号错误，不能准确“错项对齐”；
3．在应用裂项相消法求和时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项，后面就剩多少项，且前后对应项的符号相反．
考法一 裂项相消求和
【例1-1】已知等差数列的公差为正数，且，若分别是等比数列的前三项．
(1)分别求数列、的通项公式；
(2)求数列的前项之和．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，，是等比数列的前三项，
所以，即，
化简得，又，所以．得．
由（1），可得数列的前三项分别为，，，
显然该等比数列的公比为3，首项为3．
所以．综上，两数列的通项公式分别为．
（2）．
则
【例1-2】已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，当时，，
当时，，所以，即，
又因为，满足上式，所以是以为首项，为公比的等比数列，则.
（2）因为，
所以.
【一隅三反】
1．定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．
(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
(2)若，求的前n项和，并证明：．
【答案】(1)，，；(2)，证明见解析
【解析】（1）由题意得，，，
，
，…
，
由等比数列的前n项和公式可得，，所以的通项公式．
（2）由于，所以，
则，因为，所以，所以，
又随n的增大而减小，所以当时，取得最大值，故．
2．已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，；(2)
【解析】（1）证明：因为，所以，即
所以是以为首项，为公差的等差数列，则，所以；
（2）
.
3.设为数列的前项和，已知，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1），
∴，，
∴,∴当时，；当时，也符合上式，
∴．
（2），
∵，∴，
当时，满足，
当时，存在，（其中，表示不超过的最大整数），
使得，则，∴，不满足条件，∴．
考法二 错位相减求和
【例2】已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由已知，∵，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
∴易知数列中任意一项不为，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由第（1）问，，∴，∴设数列的前项和为，则
①，
①得，②，
①②得，，
∴，∴.
∴数列的前项和为.
【一隅三反】
1．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，所以当时，，所以，
又当时，，解得，所以，所以，
所以是首项为､公比为的等比数列，所以的通项公式为.
（2）由（1）知，所以，
所以，两式相减，得
，
所以.
2.记正项数列的前项和为，已知点在函数的图象上，且，数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；；(2)
【解析】（1）因为点在函数的图象上，
所以，
当时，，所以，解得或，
因为，所以，当时，，，
两式相减得：，即，
因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以；
由知，是以为公比的等比数列，又，所以.①
（2）因为，
，
，
两式相减可得
所以.
考法三 分组转化求和
【例3-1】已知等差数列满足，．
(1)求；
(2)数列满足，为数列的前项和，求．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
因为，．则，解得，
所以．
（2）由（1）可得，
则
，所以.
【一隅三反】
1．设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为由成等比数列可得，所以，所以，
因为，所以.①又，所以，②所以，
联立①②得，所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，所以
.
2．已知是等差数列，，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记，求.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为是等差数列，，，且，，成等比数列，
所以，即，解得或（舍去），所以．
（2）由题意知，，
所以．
当为偶数时，
，
当为奇数时，．
综上．
考法四 并项求和
【例4-1】在数列中，，当时，
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，数列的前n项和为，求
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为，
所以，两边同除以，得，
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，整理得：，
则，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
所以.
【例4-2】已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
【答案】(1)；(2)1012
【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，
即解得，所以；
（2）由（1）可知，，
对于任意，有，所以，
故数列的前2023项和为
.
【一隅三反】
1．已知数列的前项和，其中，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，则，由，可得，
当时，则，整理得，即；
当时，则，可得，
整理得，
因为，则，可得，即，
故数列是以首项为1，公差为2的等差数列，所以.
（2）由（1）可得：，当为偶数时，则，
所以
，即.
2．记为数列的前项和，已知，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）方法1：，时，，
累加得：，时也成立，.
，是等差数列
方法2：，，
为常数数列，，，，是等差数列.
方法3：当时，①，②，
②-①可得：，
是等差数列，因为.
（2）由（1）知，所以，方法1：并项求和
当为偶数时，，
方法2：错位相减求和
①
②
①-②：
考法五 倒序相加求和
【例5】高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A．2023B．4046C．2022D．4044
【答案】B
【解析】根据等比数列的下标性质由，
∵函数，∴，
令，则，
∴，∴．故选：B
【一隅三反】
1．已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【答案】B
【解析】由于函数为奇函数，则，
即，所以，所以，
所以
因此数列的前2022项和为．故选：B.
2．已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．
【答案】
【解析】∵①，∴当时，②，
①－②得，∴；
当时，，∴，此时仍然成立，∴．
∴当n=1时，；当时，，
当n=1时，上式也成立，故．
由于，设
则，∴．
故答案为：．
数列 章节检测
一、单选题
1．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．44B．48C．55D．72
【答案】A
【分析】利用基本量法可得，故可求的值.
【详解】设的公差为d，则，即，则，故选：A.
2．设是公差大于零的等差数列，为数列的前项和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由得出，再结合等差数列的性质以及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】，由是公差大于零的等差数列，且，可得，即；
反之，若，则当时，，即．因此，“”是“”的充要条件.故选：C.
3．在等比数列中，公比，且，则（ ）
A．3B．12C．18D．24
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】，.
故选:B.
4．已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
【答案】C
【分析】分析可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论.
【详解】因为数列各项为正数，满足，，故对任意的，，则，所以，数列的每一项都是正数，所以，，可得，由等差中项法可知，数列是等差数列，故选：C.
5．已知正项数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由关系且可得，利用累加法、等比数列前n项和公式求.
【详解】由题设，则，
又都为正项，则，故，所以，
所以，故.故选：C
6．已知函数，数列满足，，，则（ ）
A．0B．1C．675D．2023
【答案】B
【分析】利用函数计算可得，再利用数列的周期性可求.
【详解】的定义域为，且，故为上的奇函数.
而，因在上为增函数，在为增函数，故为上的增函数.
又即为，故，因为，故为周期数列且周期为3.因为，所以.故选：B.
二、多选题
7．对于数列，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列是等差数列D．
【答案】ACD
【分析】由，得，两式相减得，结合可知数列所有奇数项和所有偶数项各自构成等差数列，从而即可对选项进行逐一判断.
【详解】由，，得，，
，所以A选项正确；又，，两式相减得，
令，可得，所以不是等差数列，是等差数列，故B选项错误，C正确；
同理，令，则，所以是以为首项，公差为2的等差数列，
所以，故D正确.故选：ACD
8．已知数列满足为的前项和．则下列说法正确的是（ ）
A．取最大值时，B．当取最小值时，
C．当取最大值时，D．的最大值为
【答案】AD
【分析】由题意知，即可得到的取值范围，从而得到令，即可得到，从而得到，即可判断A、B，再利用基本不等式求出，即可判断C、D.
【详解】由题意知，则，因为，所以，
令，所以，所以，所以，
即或，又，故．
当取最大值时，，此时，则，，故，故A正确；
当取最小值时，，此时，则，，故，故B不正确；
由，知，即，当且仅当时取等号，故当取最大值时，，此时，故C不正确，D正确．故选：AD
三、填空题
9.已知数列满足，数列的前项和为，则 .
【答案】
【分析】根据所给递推关系可得，，与原式作差即可求解，注意验证首项，再结合裂项相消法求和即可..
【详解】因为，
所以，两式相减，可得，即，
又当时，，不满足，所以
所以当时，，
当时，,
所以.
故答案为：.
10．已知各项都不为0的数列的前项和满足，其中，设数列的前项和为，若对一切，恒有成立，则能取到的最大整数是 .
【答案】
【分析】根据题意推得，利用等差数列的通项公式，求得的通项公式为，得到，令，结合，求得最小时为，根据恒成立，求得，即可求解.
【详解】因为，当时，，
两式相减可得，即，
因为数列的各项都不为0，所以，因为，所以，
数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列，所以；
数列的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以，
故数列的通项公式为，可得，所以，
令，，
，则，
所以随着的增大而增大，即在处取最小值，，
又因为对一切，恒有成立，所以，解得，故能取到的最大整数是.
故答案为：.
四、解答题
11．在①为等差数列，；②；③是等差数列，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知数列的前项和为，__________.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式以及由递推关系求通项的方法代入即可求解；（2）两次使用乘工笔错位相减即可求解.
【详解】（1）若选①，设的公差为，
由题意可得解得，所以.
若选②，当时，，解得；由题得，所以当时，，
作差得，即，又，所以，
所以是公差为2的等差数列，所以.
若选③，设的公差为，所以，
所以，
因为，所以，解得或（舍去），所以，
当时，，当时，，也满足，所以.
（2）由（1）可得，所以.所以，①
所以，②
①-②得，令③
则，④
③-④得，所以，
所以，所以.
12．已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式可得，采用两式相减的方法可得，从而构造数列，可求得的通项公式；
（2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法，可得答案.
【详解】（1）当时，，则，
因为，所以，两式相减得： ，
所以，，，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，故：，故；
（2）由（1）得，
故，
当时，，故.
13．已知数列中，，，（），，，，成等差数列．
(1)求k的值和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）由，，成等差数列，可求得，即可求出值和通项公式.
（2）由（1）可求出的通项公式，分类讨论即可求出数列的前n项和．
【详解】（1）解：，，成等差数列，所以，
得，得，因为，所以，
所以，得．
（2）由（1）知，
当n为偶数时，设n＝2k，
可得
，即；
当n为奇数时，设n＝2k－1，
可得
，即．
综上所述，.
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1.已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.
【详解】设等差数列的公差分别为和
,即 ,即 ①
,即 ② 由①②解得
故选：C
2.在数列中，，数列是公比为2的等比数列，设为的前n项和，则（ ）
A． B． C．数列为递减数列 D．
【答案】ACD
【分析】由已知结合等比数列通项公式可求，进而可求，然后结合单调性定义及数列的求和分别检验各选项即可判断和选择.
【详解】因为，数列是公比为2的等比数列，所以所以，故正确，错误；因为是单调增函数，故是单调减函数，故数列是减数列，故正确；，故正确.
故选：.
3.已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】对已知递推关系的等式两边同时除以，利用累加法，结合裂项求和法即可求得结果.
【详解】，两边同除得：，
所以，即，
化简得，∵，∴．故答案为：.
4.已知数列是等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1），故，故.
（2），
.
5.已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据与的关系化简，可得，由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求出，再由累乘法求解.
【详解】（1）由，得．所以，
即，整理得，上式两边同时除以，得．
又，所以，即，所以是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，．所以．
所以．
5.已知数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，即，所以．
即，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以.
（2），
故数列的前项和，
因为，所以，所以．
6.数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，即，
所以当时，，
将以上各式相加，得，则，
当时也符合上式，故.
（2）由题意.
所以
7.已知正项数列的前项和为，满足，数列的前项积为!.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1）因为，①
当时，可得，当时，，②
由①②得，
因为，所以，所以为常数，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以；
由于数列的前项的乘积为!，
当时，得；当时，得.
又因为符合通项，所以.
（2）由（1）可知，，
则，①
即，②
则①-②得：，
即.
8.已知数列的前项和满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，当时，
所以，即，所以，
所以，即是常数数列，又，所以，则.
（2）因为，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
；
综上可得.