（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第04讲 空间向量（2份，原卷版+教师版）

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空间角的概念及范围
一．异面直线所成的角
1.几何法:平移法求异面直线所成的角
(1)作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
（2）证：证明作出的角是异面直线所成的角；
（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
2.向量法
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
二．直线与平面所成角
1.几何法
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.
2.向量法
（1）斜线的方向向量
（2）平面的法向量
（3）斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.
三．二面角
1.几何法
方法一：定义法：找出二面角的平面角
方法二：垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
2.向量法
（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
空间距离
一．点到线的距离
1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；
设AP＝，直线l的一个单位方向向量为，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝ |AP|2-|AQ|2＝
二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.
三．点到平面的距离：已知平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此
四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；
五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
一．求点面距常见方法
方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离
方法二：等体积法
方法三：向量法
二.向量法求两异面直线的距离
分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的法向量为，则两条异面直线间的距离就是在方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式求解.
考法一 线线角
【例1-1】如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【一隅三反】
1．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
考法二 线面角
【例2-1】如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．

(1)求证：平面平面ABCD；
(2)已知，求直线BN与平面ACN所成角的正弦值．
【一隅三反】
1．如图，在三棱柱中，底面，，，分别为，的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
2．如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
考法三 二面角
【例3-1】如图，在多面体ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是边长为2的正三角形，是以为直角的等腰三角形，.

(1)证明：平面BCD.
(2)求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值.
【一隅三反】
1．在直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，.

(1)证明：.
(2)求二面角的余弦值.

3．如图，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的长；
(2)若为线段的中点，求二面角的余弦值.
考法四 动点问题求角
【例4】如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点.
(1)平面⊥平面ABF
(2)若平面⊥平面，设平面与平面所成角为，是否存在点G，使得，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由.
【一隅三反】
1．已知四棱锥，底面为菱形平面，为上一点.
(1)平面平面，证明：；
(2)当二面角的余弦值为时，试确定点的位置.
2．如图1，在平面图形中，，，，，沿将折起，使点到的位置，且，，如图2.

(1)求证：平面平面.
(2)线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
考法五 点线距
【例1】在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．1C．D．
【一隅三反】
1．菱形的边长为4，，E为AB的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线BC的距离为（ ）

A． B．C．D．
考点六 线线距
【例1】长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
考点七 点面距
【例1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．

(1)求证：平行四边形为矩形；
(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．
【一隅三反】
1.在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.
考点八 面面距
【例1】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
【一隅三反】
1.如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．
(1)求证：平面平面EFG；
(2)求平面与平面EFG间的距离．
空间向量 课后练习
1.已知直平行六面体中，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．0
2.如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（ ）

A．1B．C．D．
3．如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，.
(1)若为的中点，求证：；
(2)求二面角的正弦值.
4.如图所示，在四棱锥中，平面平面，，且，设平面与平面的交线为．
(1)作出交线（写出作图步骤），并证明平面；
(2)记与平面的交点为，点S在交线上，且，当二面角的余弦值为，求的值．
5．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，为线段的中点，且平面平面，是线段上的点.
(1)求证：；
(2)若直线与平面的夹角的正弦值为，求四棱锥的体积.
空间向量 随堂检测
1.如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）

A．B．C．D．
2.如图，是棱长为的正方体，若在正方体内部且满足，则到的距离为（ ）
A． B． C． D．
3.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
4.在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A． B． C． D．
5.在正方体中，E、F分别是棱AB、CD的中点.
(1)求证：面；
(2)求二面角的大小.
6.如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，面底面ABCD，E为AD的中点.

(1)求证：；
(2)在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为.
①确定点F的位置；
②求点C到平面PEF的距离.
空间角
解题思路
夹角范围
线线角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为
则
线面角
l为平面α的斜线，为l的方向向量，为平面α的法向量，
φ为l与α所成的角，则
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
二面角
平面α的法向量为，平面β的法向量为，〈，〉＝θ，
设二面角大小为φ，则