（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第05讲 圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形问题（教师版）

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知识讲解
椭圆焦点三角形主要结论
在ΔPF1F2 中,记 ∠F1PF2=θ,
椭圆定义可知:
(1). PF1+PF2=2a,F1F2=2c.
(2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c.
(3) PF1∥PF2=2b21+csθ.
(4). 焦点三角形的而积为: S=12PF1∥PF2sinθ=b2tanθ2.
双曲线焦点三角形主要结论
如图, F1、F2 是双曲线的焦点, 设 P为双曲线上任意一点,
记 ∠F1PF2=θ, 则 △PF1F2的面积S=b2tanθ2
椭圆、双曲线焦点三角形离心率
记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=θ
则椭圆的离心率为:e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sinθsinα+sinβ
双曲线的离心率为:e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sinθsinα−sinβ
椭圆焦点弦三角形周长
F1,F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点，则 △ABF2 的周长为 4a.
(2) F1,F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，过 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点，则 △ABF1 的周长为 4a.
双曲线焦点弦三角形周长
如图1， F1,F2 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过 F1 的直线交双曲线同支于 A,B 两点，且 AB=m ，则 △ABF2 的周长为 4a+2m.
椭圆焦点弦三角形面积公式
F1、F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，过 F2 倾斜角为 θ 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，则焦点弦三角形 △F1AB 的面积:
S△P1AB=2cpsinθ1−e2cs2θ，其中，p=b2a
（2） F1、F2 为椭圆的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 AB=m ，则焦点弦三角形 △F1AB 的面积:
S△F1AB=b2a−mm
双曲线焦点弦三角形面积公式
（1）设直线 l 过焦点 F2 且交双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 于 A、B 两点，直线 l 倾斜角为 θ ，双曲线的半通径为 p=b2a ，则双曲线同支焦点弦三角形的面积
S△P1AB=2cpsinθ1−e2cs2θ
（2） F1、F2 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与双曲线 C 右支交于 A、B 两点，且 AB=m ，则焦点弦三角形 △F1AB 的面积:
S△F1AB=b2a+mm
（3） F1、F2 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与双曲线 C 右支、左支分别交于 A、B 两点，且 AB=m ，则焦点弦三角形 △F1AB 的面积:
S△F1AB=bm−2am
抛物线焦点弦三角形面积公式
设直线 l 过焦点 F 且与抛物线 y2=2pxp>0 交于 A、B 两点，直线 l 倾斜角为 θ ，则焦点弦三角形 △OAB 的面积为
S△OAB=p22sinθ
考点一、椭圆的焦点三角形周长问题
【例1】椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．的周长为6 B．的面积为
C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为
【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知椭圆的左、右焦点为，，点关于直线的对称点P仍在椭圆上，则的周长为 ．
考点二、椭圆的焦点三角形面积问题
【例1】设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】（多选）已知为椭圆的左、右焦点,为平面上一点,若,则（ ）
A．当为上一点时,的面积为9
B．当为上一点时,的值可以为
C．当满足条件的点均在内部时,则的离心率小于
D．当点在的外部时,在上必存在点,使得
【变式1】已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【变式2】设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
考点三、双曲线的焦点三角形面积问题
【例1】设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（ ）
A． B．2 C． D．1
【变式1】设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】双曲线的两个焦点为、，点在该双曲线上，且，则点到轴的距离为 ．
考点四、椭圆、双曲线的焦点三角形离心率问题
【例1】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
【例2】已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为
A． B． C． D．2
【变式2】设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于
A． B．或2 C．2 D．
考点五、椭圆的焦点弦三角形周长问题
【例1】已知△的顶点､在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】过椭圆的右焦点作倾斜角为直线l交椭圆C于A､B两点，是左焦点，则的周长为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．与有关
【变式2】设椭圆的两个焦点为，，椭圆上的点P，Q满足P，Q，三点共线，则的周长为（ ）
A．2a B．2b C．4a D．4b
考点六、椭圆的焦点弦三角形面积问题
【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若，则的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【例2】（多选）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线与椭圆交于M，N两点，则（ ）
A．椭圆的离心率 B．的周长为12
C．的面积为 D．为等边三角形
【变式1】设P为椭圆C：上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为（ ）
A．24 B．12 C．8 D．6
考点七、双曲线的焦点弦三角形周长问题
【例1】过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 .
【例2】过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P､Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 .
【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若的周长为20，则线段AB的长为 ．
考点八、双曲线的焦点弦三角形面积问题
【例1】设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C交于A，B两点，若为正三角形，则C的离心率为 ，的面积为
【变式1】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
考点九、抛物线的焦点弦三角形面积问题
【例1】设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
A． B． C． D．
【例2】设F为抛物线的焦点，过F作倾斜角为的直线与该抛物线交于两点，且为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．4
【变式2】设F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
圆锥曲线 焦点三角形问题 课后练习
1.已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
3.已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
4.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．2
6.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（ ）
A．3 B． C． D．
7.设为双曲线的焦点，过作倾斜角为的直线与该抛物线交于，两点，且，为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则 .
10.已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ．
圆锥曲线 焦点三角形问题 随堂检测
1.已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
2.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
3.已知双曲线的左､右焦点分别为，若左支上的两点与左焦点三点共线，且的周长为8，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4.已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
5.已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则
A．2 B．4 C．6 D．8
6.设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为
A． B． C． D．
7.已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8.已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的周长为16，则 .
9.如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是
10.设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为