（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第06讲 圆锥曲线中的中点弦问题（2份，原卷版+教师版）

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知识讲解
椭圆中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有kAB.kOM=−b2a2=e2−1
(2) 若 Mx0,y0 为椭圆 y2a2+x2b2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有kAB.kOM=−a2b2=1e2−1
双曲线的中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则kAB⋅kOM=b2a2=e2−1
(2) 若 Mx0,y0 为双曲线 y2a2−x2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则kAB⋅kOM=a2b2=1e2−1
3. 抛物线的中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为抛物线 y2=2px 弦 AB(AB 不平行 y 轴 ) 的中点, 则 kAB= py0
(2) 若 Mx0,y0 为抛物线 x2=2py 弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 kAB=x0p
4. 中点弦斜率拓展
在椭圆 x2a2+y2b2=1 中, 以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=−b2x0a2y0;
在双曲线 x2a2−y2b2=1 中, 以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=b2x0a2y0;
在抛物线 y2=2pxp>0 中，以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=py0
5. 椭圆其他斜率形式拓展
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有
椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有
点差法妙解中点弦问题
若设直线与圆锥曲线的交点 ( 弦的端点 ) 坐标为 Ax1,y1、Bx2,y2,
将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 AB的中点和斜率有关的式子, 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
（1） 设点: 若 Ax1,y1,Bx2,y2 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上不重合的两点,则x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1
（2） 作差: 两式相减得 x1+x2x1−x2a2+y1+y2y1−y2b2=0,
（3）表斜率: y1−y2x1−x2 是直线 AB 的斜率 k,x1+x22,y1+y22 是线段 AB 的中点 x0,y0,
化简可得 y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=−b2a2⇒y0x0⋅k=−b2a2, 此种方法为点差法。
考点一、椭圆中的中点弦问题
【例1】已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
【答案】D
【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.
【例2】已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
【答案】
【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），又，即，
解得或（舍去），所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
【变式1】已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用点差法，结合直线斜率公式进行求解即可.
【详解】设，则，两式作差得所以若O为坐标原点，则，同理，所以O，P，Q三点共线，
即，所以，又过点，即椭圆的焦点，所以解得，所以C的方程为故选：C
【变式2】已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法可得，再利用重心的性质可得点，从而利用可得，即可求离心率.
【详解】设，的中点为，因为都在椭圆上，
所以，作差可得，即，
所以，即，因为，所以，
又因为为△BMN的重心，所以，所以，
则，所以，整理得，即，
所以，则，所以离心率.故选: A.
考点二、双曲线中的中点弦问题
【例1】已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过F的直线 与相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则的方程式为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.
【例2】已知椭圆的离心率为，点在上
（1）求的方程
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
【答案】（1） （2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）由 求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意有 解得,所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）设直线,,把代入得
故 于是直线OM的斜率 即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.
【变式1】已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是 .
【答案】
【分析】设双曲线的标准方程为，利用点差法可求得的值，再结合焦点的坐标可求得和的值，由此可得出双曲线的标准方程.
【详解】设点、，
由题意可得，，，直线的斜率为，
则，两式相减得，所以，
由于双曲线的一个焦点为，则，，，
因此，该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
【变式2】不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 .
【答案】
【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得.
【详解】设，则，两式相减得，
即，即 ，所以，
因为是AB垂直平分线，有，所以，
即，化简得，故，则.故答案为：
【变式3】已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则 ．
【答案】.
【分析】解法一，利用点差法，结合，以及，变形得到，再转化为关于的齐次方程，求解；解法二，设直线，，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，再转化为关于的齐次方程，求解.
【详解】解法一 由题意知，，则．设，，则两式相减，得．因为的中点为，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．
解法二 由题意知，，则．设直线的方程为，即，代入双曲线方程，得．设，，结合为的中点，得．又，所以，整理得，所以，得，得．
故答案为：
考点三、抛物线中的中点弦问题
【例1】已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】C
【详解】设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
【变式1】过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是 ．
【答案】3
【分析】由题设知直线为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得的中点横坐标，进而得纵坐标，即得.
【详解】由题意，抛物线为，则，即直线为，
∴将直线方程代入抛物线整理得：，设，，则，
故线段的中点的横坐标为代入直线，得，∴线段的中点到轴的距离是.
故答案为：3.
【变式2】已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
【答案】2
【分析】根据点差法求得直线AB的斜率，并验证判别式大于零.
【详解】设，代入抛物线，得，则①，
因为两点A，B关于点对称，则，所以由①得，
直线AB的斜率为2.则直线AB：与代入抛物线联立，得，，解得.所以直线AB的斜率为2.
故答案为：2.
【变式3】已知抛物线，过点的直线l交C于M，N两点．
(1)当点A平分线段时，求直线l的方程；
(2)已知点，过点的直线交C于P，Q两点，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】(1)利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式求直线的方程；
(2)利用设而不求法证明，再结合角平分线的性质证明.
【详解】（1）设，则，所以；又因为点是的中点，所以，所以，所以，所以直线的方程为：，即，
联立消得，，方程的判别式，即直线与抛物线相交，满足条件，故直线的方程为；
（2）设直线的方程为：，则，所以；方程的判别式，设，所以，
所以
所以，所以是的平分线，所以，即．
【能力提升】
1.已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解.
【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为，所以，，
所以，由，得，又因为，解得，，
所以椭圆C的方程为．故选：A．
2.已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用中点弦问题求出，再求出椭圆的离心率作答.
【详解】依题意，直线的斜率为，设，则，且，
由两式相减得：，于是，
解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，
所以椭圆的离心率.故选：A
3.已知m，n，s，t为正数，，，其中m，n是常数，且s＋t的最小值是，点M(m,n)是曲线的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）
A．x－4y＋6=0B．4x－y－6=0
C．4x＋y－10=0D．
【答案】A
【分析】由已知求出取得最小值时满足的条件，再结合求出，再用点差法求出直线的斜率，从而得直线方程．
【详解】∵，
当且仅当，即取等号，∴，又，又为正数，
∴可解得．设弦两端点分别为，则，
两式相减得，∵，∴．
∴直线方程为，即．故选：A．
4.已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由离心率和点求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及的坐标，由点差法得到，结合中点坐标及斜率求得，再利用焦点坐标，即可求解.
【详解】设双曲线方程为，则，解得，故双曲线方程为，焦点为；设椭圆方程为，则椭圆焦点为焦点为，故，设，则，两式相减得，整理得，即，解得，故，椭圆方程为.故选：D.
5.已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】根据向量垂直可得圆的切线方程为，进而在椭圆中，根据点差法可得，根据中点弦的斜率即可代入求解.
【详解】取中点，连接,由于,所以,进而 ,
设，设直线上任意一点，
由于是圆的切线，所以,所以，
令 则，所以，由中点坐标公式可得 ，
设,则，两式相减可得，
所以 ,又，,所以，
解得，进而 故直线l的方程为，即，
故答案为：
6.已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是 .
【答案】
【分析】由点差法得斜率后求解直线方程，
【详解】设，由题意得，两式相减化简得，而是中点，得，代入得，故直线方程为，即，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，
故答案为：
7.已知双曲线的左，右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A，B两点，若直线l不与x轴垂直，且，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设直线，联立，结合韦达定理可求得的中点的坐标，由向量的数量积知，即，代入即可求解.【详解】由已知得到.
设，直线，显然.
联立，得.
因为l与双曲线交于两点，所以，且.
由韦达定理知，
设的中点为，根据，得到，
从而得到，故.
而，，，
所以，解得，故l的斜率为，故选：B.
8.已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出，，的坐标，利用点差法，结合为线段的中点，以及两点之间的斜率公式，通过恒等变换，得到与的斜率的乘积与的关系，根据化简可得答案.
【详解】设，，，则，两式作差，并化简得，
，所以，因为为线段的中点，即
所以，即，由，得.故选：B.
9.已知双曲线，直线l交双曲线两条渐近线于点A、B，M为线段的中点，设直线l、的斜率分别为，若，则渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】设点，结合线段AB的中点为，求出，即可得到结论.
【详解】设，则，可得，
设分别为双曲线的渐近线方程分是的点，
所以有，从而有，
又，，所以，
则，所以渐近线方程为.故答案为：.
10.如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【分析】取的中点，连接，先求得直线的斜率，然后利用点差法求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】如图，取的中点，连接，则，
所以，设直线的倾斜角为，则，
所以，
所以直线的斜率为.设，则.
由，得到.，
所以，所以，则.
故答案为：
11.已知为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】由于可得为中点，则，根据点差法即可求得直线的斜率，从而得方程．
【详解】设又，因为，所以，
又，则，得则直线的斜率为，
故直线的方程为，化简为．联立，可得
，直线与抛物线有两个交点，成立
故答案为：．
11.已知抛物线，点在E上.
(1)求E的方程；
(2)设动直线l交E于A，B两点，点P，Q在E上，且，若直线l始终平分弦PQ，求点P的坐标.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据已知抛物线过点可求得抛物线方程；
（2）利用点差法可求得，表示出l的方程，再根据，以及直线l始终平分弦PQ，可得到关于P点横纵坐标的方程组，即可求得点P的坐标.
(1)因为在抛物线上，所以，解得，所以E的方程为.
(2)设，，，则，
则直线l的方程为，化简为，
又∵∴.①
由，得整理得，②
由①+②得，，故直线l恒过点，
由题意知H为弦PQ的中点，所以点.
又因为P､Q在E上，所以解得，，
即点P的坐标为.
课后巩固练习
1.（多选）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则（ ）
A．直线的方程为B．
C．椭圆的标准方程为D．椭圆的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据直线过点和点可得直线的方程，与椭圆方程联立，可得的中点的横坐标得到可得椭圆标准方程和离心率，从而达到答案.
【详解】因为直线过点和点，所以直线的方程为，代入椭圆方程，消去，得，所以的中点的横坐标为，即，
又，所以，离心率为，所以圆的方程为．故选：ABD．

∴双曲线E的方程为-=1.故选B.
2.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.
对于选项A： 可得，则，联立方程，消去y得，
此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
3.过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率
【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率故选：D
4.已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
【答案】6
【分析】设，利用中点公式即得，再根据焦点弦公式得到线段的长.
【详解】是抛物线的焦点，准线方程， 设，线段的中点横坐标为2, .，线段的长为6.
故答案为：6.
5.已知椭圆的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，且，则直线l的斜率为 ．
【答案】
【分析】由，且A，B，P，Q四点共线，可得A，B两点之间的关系，结合点差法，可构建斜率与离心率之间的关系，代入离心率可求直线斜率.
【详解】设
因为直线斜率为正，设为，所以可设点在第一象限，，且A，B，P，Q四点共线，

，，，
又，，，，在椭圆上，，，
两式相减可得，，，
又，，，即，
，，又直线斜率为正，故答案为：.
圆锥曲线中的中点弦问题 随堂检测
1.已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.
【详解】解：设，，则的中点坐标为，
由题意可得，，将，的坐标的代入椭圆的方程：，
作差可得，所以，又因为离心率，，所以，所以，即直线的斜率为，故选：A.
2.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.
【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．
3.已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法即可．
【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率．故选：B．
4.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.
5.已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，利用点差法可得的关系，从而可求得，即可的解.
【详解】设，则，由已知有，，
作差得，则，所以，解得，则的方程为.故选：D．
6.若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可.
【详解】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当时，.
可取，则满足条件的抛物线方程为.
故答案为：（答案不唯一）
7.直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为 ．
【答案】.
【详解】设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以由点斜式得．
8.已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ．
【答案】
【详解】
设双曲线的半焦距为，，根据题意得．又，∴．
在中，由余弦定理得，，即，解得，则．设，，则，，
两式相减可得，所以．
设，因为是线段的中点，所以，，
又，所以．故答案为：.
9.已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】利用点差法证明二级结论，再结合，则两式相比可得，即，代入即可求出离心率.
【详解】设，其中，显然点在椭圆内，
记坐标原点为，直线的斜率分别为，易知三条直线斜率均存在，
又，两式相减整理可得，
即，又，所以两式相比可得，
即，代入，整理可得，所以离心率.故答案为：.
10.已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据离心率以及短轴长与长轴长的关系得到方程组，解出即可.
（2）设，利用点差法得，再根据中点坐标求出，，代入即可得到直线斜率，最后写出直线方程即可.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得．．
又椭圆的长轴比短轴长2，所以，
联立方程组，解得所以椭圆的方程为．
（2）显然点在椭圆内，
设，因为在椭圆上，所以，
两个方程相减得，即，
因为线段的中点为，所以，，
所以．所以的方程为，即．