（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第08讲 圆锥曲线三定问题及最值（2份，原卷版+教师版）

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定点
参数法解决定点问题的思路:
①引入动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);
②利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系,得到关于k与x,y的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点.其理论依据是:直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).
2.特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二．定值
1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
三．定直线：是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题
1.设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程;
2.待定系数法:设出含参数的直线方程,利用待定系数法求解出系数;
3.验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证.
四．最值
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
2.利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
3.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
4.利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
5.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
考点一 定点
【例1-1】已知椭圆与椭圆的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．
(1)求实数和的值；
(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线与直线相交于点．且点在椭圆上，证明直线恒过定点．
【答案】(1)，；(2)证明见解析
【解析】（1）由椭圆方程可得其焦距为，离心率为；
由椭圆可得其焦距为，离心率为；
由题意知：，解得：（舍）或，，.
（2）设，，，则，
，，分别为的中点，
，，，
，
，，，即，
同理可得：，直线的方程为，
直线恒过定点.

【一隅三反】
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】（1）依题意，， 周长，
当且仅当三点共线时等号成立，故，

所以，所以的方程；
（2）设，直线，代入，整理得，
，，
易知，令，得，同得，
从而中点， 以为直径的圆为，
由对称性可知，定点必在轴上，令得，，
，
所以，即，因为，
所以，即， 解得，所以圆过定点.

考点二 定值
【例2】如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）的周长为，由椭圆的定义得，即，
又面积的最大值为2，，即，
，，，解得，椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可知，，椭圆的离心率，
设椭圆的方程为，则有，，解得，
椭圆的标准方程为，设，，，点在曲线上，，
依题意，可设直线，的斜率分别为，则的方程分别为，，
于是，
联立方程组，消去整理，得，
，，
，
同理可得：，，，
为定值.
【一隅三反】
1．已知椭圆：（）与椭圆：（）的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．
(1)求实数a和b的值；
(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在椭圆上，试探究梯形的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)是定值，该定值为．
【解析】（1）由题意知，，且，解得，．
（2）梯形的面积是定值，该定值为．理由如下：
由（1）知：，：,

设，，，则，
因为，，所以A，B分别为PD，PC的中点，
则，，则，
作差可得，．
因为，即，所以．
同理可得，，所以C，D都在直线上，即直线CD的方程为．
联立，可得，，则，
即．
又因为点P到直线CD的距离，
所以的面积为．
又因为∽，，所以，
所以梯形ABCD的面积为．
考点三 定直线
【例3】已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）依题可得，解得，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，因为直线过点且斜率不为，
所以可设的方程为，代入椭圆方程得，
其判别式，所以，.
两式相除得，即．
因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，
所以，． 从而．
（3）由（1）知，设，则，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，
所以点在定直线上.
【一隅三反】
1．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，.

(1)求双曲线的方程；
(2)设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)在直线上
【解析】（1）解：如图所示：

延长与交于，因为，，
则，即，令，则，
所以，，由双曲线的定义可得，
则，，则，
又因为，即，解得，所以，，，
由勾股定理可得，则，故，
因此，双曲线的方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则直线与双曲线的交点为双曲线的两个顶点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，

由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
易知点、，则，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、的方程并消去可得，
可得，解得，
因此，直线与直线的交点在定直线上.
考点四 最值
【例4】设椭圆的左､右顶点分别为，且焦距为.点在椭圆上且异于两点，若直线与的斜率之积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线，交于点.求面积的最大值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意知：，，设，
则，，
又，，，椭圆的标准方程为：.
（2）设直线，，则，
由得：，显然，，，
，又，直线方程为：，
令，则，
直线过定点；
而，
则，
令，有在上单调递增，
则，即时 ，取最小值4，于是当时，，
所以面积的最大值是.
【一隅三反】
1．已知点在椭圆上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)求的面积的最大值（为坐标原点）．
【答案】(1)1；(2)
【解析】（1）由题意得，解得，代入椭圆方程中，，
解得或6（舍去），故，

当直线的斜率不存在时，关于轴对称，此时有对称性可知，直线，的斜率之和不为0，舍去；设，联立椭圆方程得，，
则，则，
设，则，
，故，
即，故，即，
当时，，此时直线，
显然直线恒过，矛盾，当时，经检验，满足题意，故直线的斜率为1；
（2）设，联立椭圆方程得，，
，解得，
，
点到直线的距离为，
故，
故当，即时，取得最大值，最大值为.
圆锥曲线三定问题及最值 课后练习
1.已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)经过点和的圆与直线：交于，，已知点，且、分别与交于、.试探究直线是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.
【答案】(1)；(2)经过定点，定点坐标为
【解析】（1）如图所示，

∵，且，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆方程，则，，∴，.
所以点的轨迹方程为：.
（2）设直线的方程为：，由，得
设，，则，.
所以，，
因为直线的方程为：，令，得，
所以，，同理可得，
以为直径的圆的方程为：，
即，因为圆过点，所以，，
得，代入得，
化简得，，解得或（舍去），
所以直线经过定点，当直线的斜率为0时，此时直线与轴重合，直线经过点，
综上所述，直线经过定点.
2．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，
【解析】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，焦点，，.所以，，故C：.
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由已知得，，设，，则，①
由，得：，，
消去得：，即②
由①②得：，由已知，故存在定直线l：满足条件.
3.设抛物线，直线与C交于A，B两点，且.
(1)求p；
(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值.
【答案】(1)2；(2)
【解析】（1）设，
由，可得，所以，，
所以，
即，因为，解得；
（2）由（1）得抛物线，因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，，
由，可得，所以，，，
因为，所以，即，
亦即，将，代入得，
，，所以，且，解得或，
设点到直线的距离为，则，
，
所以的面积，
而或，所以当时，的面积.

圆锥曲线三定问题及最值 随堂检测
1.已知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得，，.
则，，，所以.
因为，又，所以，.故的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，即.
因为直线与圆相切，所以，即.
设，，则，.
由化简，得，由韦达定理，得
所以，
所以，
故，即以为直径的圆过原点.
当直线的斜率不存在时，的方程为或.
这时，或，.
显然，以为直径的圆也过原点.综上，以为直径的圆恒过原点.
2.在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）将，代入到，
可得，解得，，所以椭圆的方程为：.
（2）由题意可知，蒙日圆方程为：.
（ⅰ）若直线斜率不存在，则直线的方程为：或.
不妨取，易得，，，，.
（ⅱ）若直线斜率存在，设直线的方程为：.
联立，化简整理得：，
据题意有，于是有：.
设（），（）.化简整理得：，
，
，.则
，
，所以.综上可知，为定值.