（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第11讲 导数中的恒成立与能成立问题（2份，原卷版+教师版）

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1.，恒成立
2.，恒成立
3.，恒成立
4.，恒成立
5.，恒成立
6.，恒成立
7.，恒成立
考点2：能成立问题
1.，成立
2.，成立
3.，成立
4.，成立
5.，成立
6.，成立
考点3：恒成立与能成立综合问题
1.，，成立
2.，，成立
3.，，成立
题型目录：
题型一：恒成立问题（单函数单变量）
题型二：能成立问题（单函数单变量）
题型三：恒成立问题（双函数单变量）
题型四：能成立问题（双函数单变量）
题型五：恒成立与能成立问题（单函数双变量）
题型六：恒成立与能成立问题（双函数双变量不等式）
题型一：恒成立问题（单函数单变量）
【例1】已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
【答案】(1)；(2)；
【分析】（1）先求出，进而得到，，即可求解；
（2）由时，恒成立，转化为对于恒成立，设，利用导数分析其单调性，即可求得，进而求解；
【详解】（1）因为，所以，则，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）由题意，当时，恒成立，即对于恒成立，
设，则，
令，则；令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，
所以，即的取值范围为.
【变式1】已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由题意，求得，令，分类讨论，即可求得函数的单调区间；
（2）由（1）根据函数的单调性，求得函数的最值，令，得到，即可求解.
【详解】（1）定义域，，
令，，当时，，，则在单调递增，
当时，，，，，则在单调递增；
，，，则在单调递减.
综上述：当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减
（2）由（1）可知，当时，在单调递增，
又，不可能满足题意，舍去.
当时，在单调递增，在单调递减.若恒成立，
则，令，
则，解得，即，故，
综上述：.
题型二：能成立问题（单函数单变量）
【例2】已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据题意，求得，，利用导数的几何意义，即可写出切线方程；
（2）对分离参数，构造函数，利用导数求得其单调性和最值，即可求得参数的范围.
【详解】（1）当时，，，又，，
故在点处的切线方程为：，即：.
（2）因为，若，即，.
令，则，
当，，单调递减，故.
若在区间内至少存在一个实数x，使得成立，故,则实数a的取值范围为.
【变式2】已知函数，其中为实常数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)答案详见解析；(3)
【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.
（2）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（3）结合（2），对进行分类讨论，结合的单调区间、最值，求得的取值范围.
【详解】（1），所以，
所以切线方程为.
（2）的定义域为,，
当时，在区间递减；在区间递增.
当时，，在上递减.
当时，在区间递减；在区间递增.
（3）由（2）知：当时，在上递减，，不符合题意.
当时，在区间上，，依题意可知，解得.
综上所述，的取值范围是.
题型三：恒成立问题（双函数单变量）
【例3】已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)函数，若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【分析】(1)分类讨论，根据函数的导数分和求解；(2)分离参变量得到，讨论函数的单调性和最值求解.
【详解】（1）函数的定义域为，，
①当时，，所以在上为单调递减函数，
②当时，令解得，令解得，
所以在上为单调递减函数，在为单调递增函数．
（2）由得，∴，
令，，当时，时，，
所以在单调递增，在单调递减，∴故．
【变式3】设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求a的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对成立，求b的取值范围．
【答案】(1)2；(2)答案见解析；(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义可得关于a的方程，解方程即可得出答案；
（2）对求导，分和讨论的正负，即可求出的单调性；
（3）由恒成立，等价于，令，转化为求.
【详解】（1）的定义域为，，
由于直线的斜率为，.
（2），，
①当时，，在R上单调递增；
②当时，令有，
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
综上所述：，的单调递增区间为R，
，的单调减区间为，的单调增区间为.
（3）由恒成立，等价于，令（），
，
①若时，，所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则，所以在上单调递增，当趋近于0时，趋近于，不成立，
故不满足题意.
③若时，令，，，，
，单调递减，，单调递增，
只需即可，
，，
令，，在上单调递增，
，时，，
，，所以在上单调递增，，即，
综上：.
题型四：能成立问题（双函数单变量）
【例4】已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当时，在单调递减，当时，在单调递增；
（Ⅱ）.
【解析】（I）先求得函数的定义域和导函数，对分成两种情况，讨论的单调区间.
（II）构造函数，将问题转化为在上的最小值小于0来求解.利用导数讨论在区间上的单调性的最小值，由此求得的取值范围.
【详解】（I）的定义域为
所以，当时，，在上递减；
当时，，所以，在上递增.
（II）在上存在一点使成立，即函数在上的最小值小于0,
.
①当，即时，在上单调递减，
所以在上的最小值为，由，得；
②当，即时，，不合乎题意；
③当，即时，的最小值为，故.此时不成立.
综上所述，的取值范围是.
【变式4】已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求函数在x=1处的切线方程；
（2）构造函数，求导数，分类讨论，确定单调性，即可求实数的取值范围．
【详解】（1）因为，所以
故切线方程为，即
（2）设
令，解得，，对于方程，
①若，即时，则，则在上单调递增
又，即对，恒成立，不符舍去
②若，即时，因为，
所以可得在上单调递减，在上单调递增
又，则要使存在，使得成立，必有
即
综上所述，a的取值范围为
题型五：恒成立与能成立问题（单函数双变量）
【例5】已知函数．
(1)求函数的零点和极值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的最小值．
【答案】(1)零点为1；极小值为，无极大值；(2)1
【分析】（1）令，可得零点，由导数大于0，可得单调递增区间；导数小于0，可得单调递减区间，进而得到极小值无极大值；
（2）对分进行讨论，讨论的最值或范围，即可得到的最小值为1.
【详解】（1）依题意，因为，所以，
令，解得，即零点为1；
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以在处，取得极小值，无极大值；
（2）由（1）知为极小值也为最小值，
当时，，当时，，
若，令，，则，
由于，所以，显然不符合题设要求；
当时，，
由，
所以，当时，对任意，都有成立；
综上可知，的最小值为1.
【变式5】已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）存在，，使得，求的取值范围.
【答案】（1）函数的单调递减区间为，递增区间为；（2）.
【分析】（1）对函数求导，求得、的解集即可得解；
（2）转化条件为，对函数求导后可得函数在上单调递增，进而可得，令，结合导数求得即可得解.
【详解】（1）当时，，则，
令可得，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数的单调递减区间为，递增区间为；
（2）因为存在，，使得，
则当时，；因为，
当，时，，所以；
当，时，，所以；所以函数在上单调递增，
所以，
令，则，则，
令，解得或（舍去），
当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增；所以，
所以满足题意的t的取值范围为.
题型六：恒成立与能成立问题（双函数双变量不等式）
【例6】设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，当时，任意，存在使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)详见解析；(2)
【分析】（1）利用导数来研究函数的单调性，注意对参数进行讨论.
（2）恒成立与能成立问题都利用函数的最值来处理.
【详解】（1）因为函数，
所以函数定义域为：，且
①当时，，令，令,
所以当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，，因为，所以当时，
，令，令或，
所以当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，，所以当时，在上单调递减；
当时，，令，令或，
所以当时，在，上单调递减，在上单调递增；
③当时，令，令，
所以当时在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知当时，在上单调递增，
所以，所以原问题，
使得成立，使得成立.
设，则，
所以上单调递减，所以.所以即.
【变式6】设函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【分析】（1）求导，根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可；
（2）根据存在性和任意性的定义，结合导数的性质、（1）的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可.
（1）,,
①当时，恒成立，在上单调递增.
②当时，恒成立，在上单调递减，
③当时，，
在单调递减，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，
当时，在单调递减，单调递增.
（2）由题意可知：
在单调递减，单调递增
由（1）可知：①当时，在单调递增，则恒成立
②当时，在单调递减，则应（舍）
③当时，，则应有
令，则，且
在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解，综上，.
导数中的恒成立与能成立问题 课后练习
1.已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对恒成立，求的取值范围；
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；
(2)根据题意将不等式进行等价转化为求函数在的最小值问题，利用导数求解即可；
【详解】（1）因，
所以，所以所求切线方程为，即；
（2）因为在上恒成立，
而，令得所以
①当，即时，，
所以在上单调递增，则，满足题意；
②当，即时，设，
则的对称轴为，
所以在上存在唯一零点，当时，，
所以在上单调递减，故，不合题意.
综上，k的取值范围为；
2.已知函数
（1）若，求的单调递增区间；
（2）若存在正实数，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，单调增区间为，当时，单调增区间为和，当时，单调增区间为和（2）.
【解析】（1）求，可以解得：，，
讨论和的大小关系即可；
（2）当，在上单调递减，所以存在；讨论当
，，时的单调性，利用的最值即可判断.
【详解】解：（1）
令，解得：，，
当，即时，，此时在R上单调递增；单调增区间为
当，即时，令得：或，即或，
此时单调增区间为和
当，即时，令得：或，解得：或
此时单调增区间为和
（2），
①当时，，在上单调递减，
，又时，，，使得，
②当时，
若，即时，，在上单调递增，不满足，
若，即时在是单减，在上单增
令，，
在上单增，且时，，此时，使得，当时，不满足题意.
综上所述：
3.已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）求出函数定义域，利用导数分类讨论求解的单调区间即可求解；
（2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出在的最小值即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
若，，函数在上单调递减；
若，当时，，当时，，
因此，函数在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，函数在上单调递减；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）令，
于是恒成立，即恒成立，
令，求导得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因此，，则有，所以的取值范围是.
4.已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
（1）求函数；
（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求导后，根据和，解得即可得解；
（2）转化为，再利用导数求出函数在上的最大值，然后解不等式可得结果.
【详解】（1）∵，
由，得且，解得，，
又，∴，∴；
（2）存在，使得，等价于，
∵，当时，，当时，，
∴在上递减，在上递增，
又，，∴在上的最大值为，
∴，解得，所以的取值范围是．
5.已知函数，．
(1)若轴与曲线相切，求的值；
(2)设函数，若对任意的，，求的最大值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）求函数的导数，设切点，利用导数的几何意义可得，且，解方程求得答案;
（2）求出函数的导数，判断其正负确定函数的单调性，确定函数的最小值，比较函数在区间端点处的函数值，确定函数最大值，进而将对任意的，恒成立，转化为恒成立，从而求得答案.
解析：（1）由题意得，，设x轴与曲线相切的切点为，
则，且，
即，显然，则，
则，又，解得；
（2）由题意得，则，
由于，是单调增函数，，
故当时，，递减，当时，，递增，
故，
又，
则，令，则，
由于，（当且仅当x=0时取等号），故，
所以递增，则时，，
故时，,即，
即，即，
故对任意的，恒成立，即恒成立，
故，令，则，
故单调递增，则即为，即，所以，
故求a的最大值.
6.设为实数，函数，.
(1)若函数与轴有三个不同交点，求实数的取值范围；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先利用导数求得函数的单调区间和极值，再利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围；
（2）先求得在上的最小值，和在上的最小值，再依据题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围
（1），由，解得或；由解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
若函数与轴有三个不同交点，则，解得，
所以若函数与轴有三个不同交点，实数的取值范围为；
（2）对于，，都有，则，
由（1）知函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，又，，
故当时，
因为，且，则，
故函数在上单调递减，故，由题意可得，故.
所以实数的取值范围为.
导数中的恒成立与能成立问题 随堂检测
1.已知函数（为常数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增；(2)
【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性；
（2）分离参变量得在上恒成立，令，问题转化为求函数的最大值的问题，求解即可．
【详解】（1）定义域为，，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增.
（2）由题意知：在上恒成立，即：在上恒成立，
令，则，由，得，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，，
只需，所以实数的取值范围是.
2.已知函数.
(1)若是的极值点，确定的值；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由已知可得出，求出的值，然后利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义检验即可；
（2）由参变量分离法可得出，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
（1）解：因为，该函数的定义域为，则，
由已知可得，可得，此时，列表如下：
所以，函数在处取得极大值，合乎题意，故.
（2）解：存在，使得可得，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
3.已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)用表示出，；
(2)若在上恒成立，求的取值范围；
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据导数的结合意义，列出等式，即可求解；
（2）由在上恒成立，设函数，求得其导数，分类讨论，判断函数单调性，根据不等式恒成立，求得参数范围.
【详解】（1）由可得，
则，且，则.
（2）由（1）知，，
令，
则，
当时，，若，则，是减函数，所以，这与题意不符；
当时，，若，则，仅当时等号成立，是增函数，
所以，即恒成立，仅当时等号成立，
综上所述，所求a的取值范围为.
4.已知函数．
(1)求的极值；
(2)若在时有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值为0，无极大值；(2)
【分析】（1）直接求导确定单调性求出极值即可；
（2）先参变分离得到，再构造函数求导确定最小值，即可求出实数a的取值范围．
【详解】（1），当时，，
当时，，则在上单减，在上单增，
故的极小值为，无极大值.
（2）在时有解，
即在时有解，令，
则，
由（1）知在上单增，且，则，
则当时，单减，当时，单增，
所以，故.
增
极大值
减