陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高二(上)期末数学试卷（解析版）

这是一份陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高二(上)期末数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 抛物线的焦点为， 若数列满足，则， 若直线，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､为生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线l经过，两点，则l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由斜率公式得，l的斜率为．
故选：B
2. 已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分数部分为负，分母为，分子为，
故该数列的一个通项公式可以为，故选：D
3. 已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得双曲线离心率，解得，（负值舍），
则，故双曲线的渐近线方程为.
故选：D
4. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，
当时，，可得，
当时，，
因为数列为等比数列，可得，解得.
故选：D.
5. 抛物线的焦点为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将抛物线的方程整理为标准形式得，
可知该抛物线的焦点在轴负半轴上，且，即，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：B.
6. 若数列满足，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
令，可得，则；
令，可得，则.
故选：D.
7. 已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为椭圆的左焦点为，所以.
又因为椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，
所以，
结合，可得，
故椭圆的方程为.
故选：A.
8. 在三棱锥中，平面分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为平面，都在面内，
所以，
又，所以，所以两两垂直，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
设平面的法向量为，
则所以
取，得．
设直线与平面所成的角为，
所以．
故选：B
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若直线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】设斜率分别为，
结合题意易得：，
因为，所以
因为且，所以.
故选：BD.
10. 等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 的公差为1B. 的公差为2
C. D.
【答案】ACD
【解析】设的公差为d，由，，得，
解得，故A正确，B错误；
，，C，D正确.
故选：ACD
11. 已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】因为，所以曲线为，直线为，
当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误；
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确；
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确；
当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确．
故选：BD．
12. 已知抛物线，点在上，过点的直线与相交于两点，直线的斜率分别为，则（ ）
A.
B.
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
【答案】BC
【解析】将代入，得．设，
直线的方程为，联立方程组，消去得．
由，得或，所以，
则．
因为，所以．
又因为，
且或，
所以．
故选：BC.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 直线被圆截得的弦长为__________.
【答案】6
【解析】由圆，可得圆心，半径.
所以圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长为.
故答案为：6.
14. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为__________.
【答案】
【解析】由题可知，解得，所以，故的焦距为.
故答案为：
15. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_________．
【答案】
【解析】在长方体中，，，，
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，，
所以，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
16. 已知数列满足，则__________.
【答案】
【解析】因为，则，即.
且，可知是首项为，公差为的等差数列，
则，即，
所以.
故答案为：.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）当时，，
当时，.
符合，
所以的通项公式为.
（2）由（1）可得，
则，
所以数列的前项和.
18. 一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．
解：（1）依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等．
又点不在直线上，根据抛物线的定义可知，
该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为．
（2）设，由题意知直线l斜率存在，则，
则，

两式相减得，即．
因为线段AB的中点坐标为，
所以，则，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即．
19. 已知圆过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）经过点的直线与圆相切，求的方程.
解：（1）设圆的方程为，
根据题意，可得，解得，
所以圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得，
则直线的方程为，即.
故直线的方程为或.
20. 如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且．
（1）求的长;
（2）求二面角的正弦值.
解：（1）因为平面，，故以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系．
设，由，得，，，．
因为F是中点，
所以，
则，．
又，
所以，
解得，故．
（2）由（1）可知，，
则，，．
设平面的法向量为，
则，令，得．
设平面的法向量为，
则，令，得．
所以，
故二面角正弦值为．
21. 已知正项数列满足，数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
解：（1）因为，且，所以，
所以，即，所以．
当时，所以，
所以．
因为，所以，所以．
也符合上式，所以．
当时，．
因为，所以当时，，
所以当时，，
即，
所以当时，数列是以为首项的常数列，
即（），所以（），
所以通项公式为
（2）因为，
所以，
两式相减得，
所以．
22. 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
（1）求椭圆和双曲线的离心率；
（2）设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
解：（1）椭圆的焦距，
双曲线的焦距，
则，整理得，
从而，，
故椭圆的离心率，双曲线的离心率．
（2）由（1）可知，椭圆，
因为，所以直线的方程为．
联立方程组，
整理得，
则，则，
可得，即，
因为，，，
则，，
故．