重庆市2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份重庆市2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析，共19页。试卷主要包含了 函数的图象可能是， 已知，，则是的条件， 下列命题为真命题的是， 下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解绝对值不等式求得集合，由此求得.
【详解】由解得，所以,
所以.
故选：A
2. 下列函数是偶函数且在上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性来确定正确答案.
【详解】A选项，的定义域为，是非奇非偶函数，A选项错误.
B选项，的定义域为，
，所以不是偶函数，B选项错误.
C选项，的定义域为，
，所以不是偶函数，C选项错误.
D选项，的定义域为，
，是偶函数，
当时，所以在上单调递增，D选项正确.
故选：D
3. 已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合选项，根据二次函数的性质求解判断.
【详解】函数对称轴为，
当时，当时，当时，值域为，故A错误；
当时，当时，当时，值域为，故B正确；
当时，当时，当时，值域为，故C错误；
当时，当时，当时，值域为，故D错误.
故选：B.
4. 设，，均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，所以A选项错误.
BD选项，由于，
所以B选项错误，D选项正确.
C选项，不妨设，则，
此时，所以C选项错误
故选：D
5. 函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据的定义域即可判断.
【详解】由于，得，所以的定义域是，
由此排除ABD选项，所以正确的选项为C.
故选：C.
6. 设定义在上函数满足为偶函数，为奇函数，，则（）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先根据为奇函数和为偶函数得出对称轴及对称中心，再化简得出周期，最后应用已知函数值即可求解.
【详解】偶函数，,
为奇函数，,,
,
,
.
故选:C.
7. 已知，，则是的（）条件
A. 充分不必要B. 充分必要
C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质及充分条件必要条件的概念判断.
【详解】若，当时，有，当时，有，
故，充分性成立，
若，取，则，必要性不成立，
故是的充分不必要条件.
故选：A.
8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可.
【详解】令, 则，
当时，单调递增，且，
当时，，当时单调递增，
则函数在上单调递增，符合题意；
当时，的对称轴为，
由题意，
当时，表示开口向下的抛物线，对称轴为，
在上单调递减，不符合题意，
综上，.
故选：A.
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对得5分，部分选对得2分）
9. 下列命题为真命题的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用特殊值、差比较法、不等式的性质求得正确答案.
【详解】A选项，若，而，则，
当时等号成立，所以A选项是真命题.
B选项，若，如时，，
所以B选项是假命题.
C选项，，，
则，
所以，所以C选项是真命题.
D选项，若，，取，则，所以D选项是假命题.
故选：AC
10. 下列命题是真命题的是（）
A. 若，则
B. 若的定义域为，则的定义域为；
C. 函数是定义在上的单调递增奇函数
D. 记为实数，的最小值，为实数，的最大值，函数，，，，则的最大值与的最小值的差为4.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的单调性、定义域、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，由得，
所以，所以A选项为真命题.
B选项，的定义域是，所以，
所以的定义域为，所以B选项为假命题.
C选项，对于函数，当时，
，所以在上单调递减，所以C选项错误.
D选项，由解得或，
由于，所以的图象如下图所示，
所以的最大值是.
由于，所以的图象如下图所示，
所以的最小值为，
所以的最大值与的最小值的差为4，D选项正确.
故选：AD
11. 已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（）
A. 的对称中心为
B关于对称
C. 的对称中心为
D. 的图象关于对称
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知条件，结合函数的奇偶性、对称性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，设
，
为奇函数，
所以的对称中心为，所以A选项正确.
B选项，，
设
，
为偶函数，
所以关于对称，所以B选项正确.
C选项，，设，
，所以不是奇函数，所以C选项错误.
D选项，，设，
，所以不是奇函数，所以D选项错误.
故选：AB
12. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（）
A. 的最大值为B. 的最大值为2
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于选项ABC，利用基本不等式求解判断；对于选项D，令，代入，利用判别式求解判断.
【详解】对于选项AB，，
则，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，故A正确，B错误；
对于选项C，
，
则，当且仅当时等号成立，
则，当且仅当时等号成立，故C错误；
对于选项D，
令，代入，得，
当且仅当时，成立，
即的最小值为，故D正确.
故选：AD.
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 命题“，”的否定是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】命题“，”是存在量词命题，
其否定是全称量词命题：.
故答案为：
14. 已知，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
15. 已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（，为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为__________小时.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得，进而求得正确答案.
【详解】依题意，两式相除得，
则，
所以当时，小时.
故答案为：
16. 已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】分段讨论，把恒成立问题转化为函数最值问题，根据二次函数的性质及基本不等式求解.
【详解】当时，，
若恒成立，即恒成立，
即恒成立，
∵，当时取等号，
，当时取等号，
∴；
当时，，
若恒成立，则恒成立，
即恒成立，
∵，当且仅当，即时取等号，
，当且仅当，即时取等号，
∴，
综上，，即取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6个小题，其中第17题10分，18-22题每道大题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 求值
（1）
（2）已知，，用，表示.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案.
（2）根据对数运算求得正确答案.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
，
所以
18. 已知关于的方程有实根，集合.
（1）求的取值集合；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分，两种情况讨论，结合判别式求解；
（2）若，则，分，两种情况讨论，列出不等式求解即可.
【小问1详解】
方程有实根，
若，该方程无解；
若，则，解得或，
综上，.
【小问2详解】
若，则，
当时，，符合题意；
当时，，
∵，∴或，∴，
综上，.
19. 定义上的函数为奇函数，为偶函数，.
（1）求函数、的解析式；
（2）判断并证明的单调性.
【答案】（1），
（2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明详见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得和的解析式.
（2）根据函数单调性的定义以及函数的奇偶性证得的单调性.
【小问1详解】
依题意，定义上的函数为奇函数，为偶函数，且，
则，所以，
两式相加得，
所以.
【小问2详解】
在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下：
当时，任取，
，
其中，所以，
所以在区间上单调递增，
由于是偶函数，所以在区间上单调递减.
20. 已知为实数，用表示不超过的最大整数.
（1）若函数，求，的值；
（2）若存在，使得，则称函数是函数，若函数是函数，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的定义求得正确答案.
（2）根据函数的定义列方程，对进行分类讨论，结合函数的单调性求得的取值范围.
【小问1详解】
由于，
所以.
【小问2详解】
当时，，则：存在，使得，
对于，
当时，在上单调递增，所以不存在符合题意的.
当时，若或，即或时，
在区间上是单调函数，所以不存在符合题意的.
所以，即，
此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，
要使“存在，使得”，
则需，即，
所以，即的取值范围是.
21. 已知函数，，，.
（1）求的解析式并判断其奇偶性；
（2）已知对任意，，都有，求参数的取值范围.
【答案】（1），偶函数
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据所给定义直接得到函数解析式，再根据奇偶性的定义判断即可；
（2）首先求出，依题意可得恒成立，即恒成立，令，则在上恒成立，即可得到或在上恒成立，结合二次函数的性质计算可得.
【小问1详解】
因为，，
所以，
则的定义域为，且
，
所以为偶函数.
【小问2详解】
因为，
令，则，当且仅当时取等号，
令，，
所以，，
对于，任取，且，
则，
所以在上单调递增，又在上单调递减，
所以在上单调递减，
则当时，即当时取得最大值，
又，对任意的，，都有，
则恒成立，
即恒成立，
令，，则在上恒成立，
所以或在上恒成立，
若在上恒成立，
因为，即，
当且仅当时取等号，所以，
若在上恒成立，
因为，所以，
综上可得或.
【点睛】关键点睛：本题第二问关键是将问题转化为恒成立.
22. 已知定义域为的函数，若存在实数，使得，都存在满足，则称函数具有性质.
（1）判断函数是否具有性质，是否具有性质，说明理由；
（2）若存在唯一实数，使得函数，具有性质，求实数的值.
【答案】（1）函数不具有性质，函数具有性质，理由见解析
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据新定义判断证明即可；
（2）记函数的值域为，函数的值域，由题意可得，然后对进行分类讨论，结合一次函数与二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
函数不具有性质．理由如下：
对于因为，所以不存在满足，
所以函数不具有性质．
函数具有性质，理由如下：
的值域亦为，故，使得，
所以函数具有性质.
【小问2详解】
记函数的值域为，函数的值域.
因为存在唯一的实数，使得函数有性质，
即存在唯一的实数，对，使得成立，
所以，
①当时，，其值域，由得.
②当，且时，是增函数，
所以其值域，由得，舍去.
③当时，的最大值为，最小值为，所以的值域，
由得，舍去，
④当时，的最大值为，最小值为，所以的值域，
由得或（舍），
综上所述，或.