海南省海口市海南中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，满分150分，考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上，
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答非选择题时，将答案写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的
1. 下列式子错误的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
3. 已知是等比数列，且．那么的值为（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
4. 在数列中，，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
5. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等比数列前项和为，若，，则（ ）
A. 8B. 26C. 80D. 54
7. 两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A. 平均数为3，中位数为2B. 中位数为3，众数为2
C. 中位数为3，方差为2.8D. 平均数为2，方差为2.4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线的方程为，则（ ）
A. 渐近线方程为B. 焦距为
C. 离心率为D. 焦点到渐近线的距离为8
10. 下列说法中，正确是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B. 一组数据的第75百分位数为17
C. 若样本数据方差为8，则数据的方差为2
D. 将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差
11. 疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A. B. 事件与互斥
C. D. 事件与对立
12. 已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若，则（ ）
A.
B. 当且仅当时，取得最小值
C.
D. 的正整数的最大值为12
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9，0表示未击中目标，以三个随机数为一组，代表三次发射的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为______.
14. 在数列中，，则___________．
15. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
16. 已知双曲线，，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线上的第一象限内的点，点为△的内心，点在轴上的投影的横坐标为___________，△的面积的取值范围为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 等差数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18. 已知.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
19. 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；
（3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．
20. 杭州亚运会正在进行，乒乓球被称为中国的“国球”，赛事备受关注.乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成10∶10平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球.
（1）求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；
（2）若在该局双方比分打成10∶10平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“”的概率.
21. 已知数列的前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
22. 已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，过点直线交椭圆于点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点.求证：与的面积之比为定值.