河北省保定市安国市2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份河北省保定市安国市2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. 2B. C. 2或D.
【答案】A
【解析】解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；
故选A
2. 如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．
∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为．
故选：A．
3. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和．则原来的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和；
∴，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和．
∴
A. 中，，，故该选项不符合题意；
B 中，，，故该选项符合题意；
C. 中，，，故该选项不符合题意；
D. 中，，，故该选项不符合题意；
故选：B．
4. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ）
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得：
解得，
经检验，是分式方程的解且符合实际意义，
即P点表示的数为．
故选：C．
5. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A、根据等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；
B、根据三角形的内角和定理，得到平行四边形的对角线互相垂直，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；
C、根据同旁内角互补，两直线平行，不能得到平行四边形是菱形，符合题意；
D、根据平行四边形的对边平行，两直线平行，内错角相等，以及等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；

故选C．
6. 已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 无实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∴
，
，
∴原方程无实数根，
故选：A．
7. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
8. 如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图，过点作于点，
由题意可知，，，
，
四边形是矩形，，
，
，
在中，，
，
是的中点
，
在中，，
，
故选：D
9. 如图，矩形各顶点的坐标分别为O0,0，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是
故选：D．
10. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】A
【解析】解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴正边形的一个外角为，
∴的值为；
故选A
11. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】结合图象，得到当时，，
当点P运动到点B时，，
根据菱形的性质，得，
故，
当点P运动到中点时，的长为，
故选C．
12. 如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵12个相似的直角三角形，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
∴，
故选C
二、填空题．（本大题4个小题，每小题3分，共12分．第15题、16题含两个空，第一空1分，第二空2分．）
13. 如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是____________________．
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形
【解析】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴测量两组对边的长度是否分别相等，判定四边形是否为平行四边形，
∵对角线相等的平行四边形为矩形，
∴要测量它们的两条对角线是否相等，
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．
14. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为____________．
【答案】
【解析】解：
移项得，
∴
即
故答案为：．
15. 已知，
（1）____________；
（2）____________．
【答案】 （1）. （2）.
【解析】解：（1）∵，
∴，
故答案为：．
（2）设，
∴．
故答案为：．
16. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接．
（1）线段的长为______；
（2）若为的中点，则线段的长为______．
【答案】 （1）. 2 （2）.
【解析】（1）四边形是正方形，
，
在中，，
，
，
；
（2）延长到点，使，连接
由点向作垂线，垂足为
∵为的中点，为的中点，
∴为的中位线，
在中， ，
，
在中，，
为的中位线，
；
故答案为：2；.
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 按要求解下列一元二次方程
（1）（公式法）；
（2）（配方法）；
（3）（因式分解法）.
解：（1），
即，
∴，，
∴，
即；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
即或，
解得：；
（3），
∴，
∴，即，
∴或，
解得：．
18. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为10厘米，被分为60等份．如果小玻璃管口正好对着量具上等份处（平行），那么小玻璃管口径是多大？
解：依题意，，，∴，
∴即
解得：
答：小玻璃管口径是厘米．
19. 已知关于x的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根．
解：（1）证明：∵是一元二次方程，
∴，
无论取何实数，总有，，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把代入方程，
有，
整理，得．
解得，
此时方程可化为．
解此方程，得，．
∴方程的另一根为．
20. 九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）．
（1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为______；
（2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）
解：（1）若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合开关按键，灯泡才会发光，
所以P（灯泡发光）；
（2）用树状图分析如下：
一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光，
所以P（灯泡发光）．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为O0,0，，．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为；
（2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
（3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
解：（1）如图，即为所作图形；
（2）如图，即为所作图形；
（3）由作图可知，，是相似三角形，
又因为对应点所连直线经过同一个点，
所以和是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为．
22. 如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．
解：（1）四边形是菱形，理由如下，
如图所示，过点作于点，过点作于点，
根据题意，四边形EFGH，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵宽度相等，即，且，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）如图所示，过点作于点，
根据题意，，
∵，
∴，
由（1）可得四边形是菱形，
∴，
在中，，
即，
∴．
23. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．
（1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
（2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率．
解：（1）设售价应定为每个元，则
，
整理得：，
解得：，；
∵更大优惠让利消费者，
∴不符合题意，
∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元．
（2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个），
设这两周的平均增长率为，则
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴这两周的平均增长率为．
24. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求．

解：∵，，面积为，
∴，
解得：，
如图①，设正方形的边长为，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
如图②，过点作，分别交于两点，

又∵，，面积为，，
∴，，
∴，，
设图②正方形的边长为，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴图①中的正方形的面积要大，所以甲同学的加工方法符合要求．