河北省邯郸市魏县2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份河北省邯郸市魏县2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A选项是轴对称图形而不是中心对称图形；
B选项不是轴对称图形是中心对称图形；
C选项是轴对称图形而不是中心对称图形；
D选项是中心对称图形也是轴对称图形；
故选：D．
2. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】解：∵将 绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
．
故选：C．
3. 若P(x，3)与点Q(4，y)关于原点对称，则xy的值是( )
A. 12B. ﹣12C. 64D. ﹣64
【答案】A
【解析】∵与点关于原点对称，
∴，，
∴．
故选A．
4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则n的最小整数解是（ ）
A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 1
【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
则n的最小整数解为．
故选：B．
5. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. 3x－1＝0B. C. D.
【答案】B
【解析】因为3x－1＝0是一元一次方程，
所以A不符合题意；
因为是一元二次方程，
所以B符合题意；
因为化简后是一元一次方程，
所以C不符合题意；
因为不是一元二次方程，
所以D不符合题意；
故选B．
6. 直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（ ）
A. 8B. 7C. 6D.
【答案】C
【解析】解：设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与，
直角三角形两直角边是方程的两根，
，，
根据勾股定理可得：，
．
故选：C．
7. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是（ ）
A. B.
C. D. 无法求解
【答案】C
【解析】解：根据题意得：方程可以看作是关于的一元二次方程，
∵关于x的方程的解是，
∴关于的方程的解是，
∴．
故选：C
8. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位
【答案】C
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标是，
又∵抛物线的顶点坐标是，
∴由二次函数的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到的图象．
故选：C
9. 函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①③④
【答案】D
【解析】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；
故选：D．
10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴＝，
∴＝，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，故⑤正确，
故选：D．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 如图，在中，，将绕点按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为______．
【答案】
【解析】解：∵
，
由旋转的性质可知，，
，
，
．
故答案为：．
12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是____．
【答案】
【解析】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，
故答案为：．
13. 已知 是关于x的方程的两个实数根，，则＝_____．
【答案】1
【解析】解：由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
14. 若a，b为有理数，且，则=___．
【答案】9
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9．
15. 已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 _____．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
令，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴B点纵坐标为，
把代入，
得，
解得，
∴．
故答案为：．
三、解答题（共10小题，满分75分）
16. 解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1），
∴
∴
解得：，；
（2），
∴
∴或
解得：，；
（3），
∴
∴
∴
解得：，；
（4），
∴
∴
∴
∴
解得：， ．
17. 如图所示，已知ΔABC的三个顶点的坐标分别是．
（1）点B关于点A对称的点的坐标是___________；
（2）将ΔABC绕坐标原点O逆时针旋转90度，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标．
解：（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）；
（2）所作图形如图所示：
，
点B的对应点B'的坐标为：（0，−6）；
18. 在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示．
（1）如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上4，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形；
（2）如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形．
解：（1）如图所示，所得的图案是由原来的图案向右平移4个单位得到的；
（2）如图所示：所得的图案是由原来的图案向下平移3个单位得到的．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．

（1）直接写出点关于点对称的点的坐标： ；
（2）平移，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的；
（3）画出绕原点逆时针旋转后得到．
解：（1）点关于点对称的点的坐标为；
故答案为：；
（2）如图所示，即为所求；

（3）如图所示，即为所求．
20. 已知关于x的方程．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根分别为，，其中，且，求m的值．
解：（1）证明：关于x的方程，
∵，，，
∴，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：若此方程的两个根分别为，，由题意得，
，，
∵，
∴，
即，
，
∴，
即，
解得，
当时，，，，不符合题意，
∴舍去，
当时，，，，符合题意，
故m的值为2．
21. 用配方法解方程：．
解：整理，得_____，
移项，得_____，
二次项系数化为1，得_____，
配方，得_____，即（_____）_____，
开方，得_____，
_____，_____．
解：用配方法解一元二次方程如下：
，
整理，得：，
移项，得：，
二次项系数化为1，得：，
配方，得：，
即：，
开方，得：，
解得：，，
故答案为：，，，，，，，，．
22. 已知所给的抛物线C的解析式为y＝mx2＋(1－3m)x＋1－4m，其中m≠0．
（1）判断抛物线与x轴的交点个数，并说明理由；
（2）当m＝1时，抛物线C与y轴的交点为A，点B(－4，0)，点P在抛物线C上，且∠ABO＝2∠PAO，求点P的坐标；
（3）当－1≤x≤4时，0≤y≤5，求m的取值范围．
解：（1）令y=0，得mx2＋(1－3m)x＋1－4m=0，
Δ＝(1－3m)2－4m(1－4m)＝25m2－10m＋1＝(5m－1)2≥0，
∴当m＝时，抛物线与x轴只有1个交点，
当m≠时，抛物线与x轴有2个交点；
（2）m＝1时，y＝x2－2x－3，
∴A(0，－3) ，
∴AO＝3 ，
在x轴上截取BA＝BM，
∴∠AMO＝∠MAB，
∵∠ABO＝∠AMO＋∠MAB，
∴∠ABO＝2∠AMO，
∵∠ABO＝2∠PAO，
∴∠PAO＝∠AMO，
∵B(－4，0)，
∴BO＝4，
在Rt△ABO中，AB＝＝5，
∴BM＝5，
∴MO＝5＋4＝9，
在Rt△MAO中，tan∠OMA＝＝，
设P的坐标为(p，p2－2p－3)，过P作PQ⊥y轴，交y轴于点Q，
当P在y轴左侧时，P1Q1＝－p，AQ1＝p2－2p，
在Rt△AP1Q1中，tan∠P1AO＝＝，即＝，
解得：p＝－1，
∴P1(－1，0)，
当P在y轴右侧时，P2Q2＝p，AQ2＝p2－2p，
Rt△AP2Q2中，tan∠P2AO＝＝，即＝，
解得：p＝5，
∴P2(5，12)，
综上所述，点P的坐标为(－1，0)或(5，12)；
（3）y＝mx2＋(1－3m)x＋1－4m＝m(x2－3x－4)＋(x＋1)，
∴抛物线过定点(－1，0)和(4，5)，
∵当－1≤x≤4时，0≤y≤5，
∴当－1≤x≤4时，y随x的增大而增大，
当m＞0时，－≤－1，解得0＜m≤，
当m＜0时，－≥4，解得－≤m＜0，
综上所述，m的取值范围为－≤m＜0或0＜m≤.
23. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
解：（1）设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，由题意得：
解得：
每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元．
（2）
．
当时，w最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
24. 某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用7320元购进甲，乙灯笼各120对，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．经市场调查发现，甲灯笼每天的销量y1（单位：对）与售价x（单位：元）的函数关系为y1＝﹣2x+109，乙灯笼每天的销量y2（单位：对）与售价z（单位：元）的函数关系y2＝﹣z+78，其中x，z均为整数．商场按照每对甲灯笼和每对乙灯笼的利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）当甲灯笼销售单价为多少元时，两种灯笼每天销售的总利润相同；
（3）当这两种灯笼每天销售的总利润的和最大时，直接写出此时甲灯笼的销售单价．
解：（1）设甲种灯笼每对的进价为 元，则乙种灯笼每对的进价为 元，
由题意得 ，
解得 ，
，
答：甲种灯笼每对的进价为 元，则乙种灯笼每对的进价为 元．
（2）设甲种灯笼每天的销售利润为 元，则乙种灯笼每天的销售利润为 元，则
，
，
商场按照每对甲灯笼和每对乙灯笼的利润相同的标准确定销售单价，
，
，
，
当两种灯笼每天销售的总利润相同时，
即，
解得 或26（舍去），
答：当甲灯笼的销售单价为40元时，两种灯笼每天销售的总利润相同．
（3）设这两种灯笼每天销售的总利润为 元，则
，
对称轴为 ，
又-3＜0，x为整数，
∴当x=43时，w最大，
答：当这两种灯笼每天销售的总利润的和最大时，甲灯笼的销售单价为43 元．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，，交轴于．
（1）求抛物线解析式：
（2）如图1，点为直线上方抛物线上一点，过作轴于点，再过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段沿直线平移，得到线段，连接，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
解：（1）抛物线交轴于A-4,0，，交轴于，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设，则，．
，.
直线的解析式为．
，
，
，
，
，
时，的最大值，
；
（3）如图2中，为等腰三角形有三种情况：①，②，③，
由（2）得，直线的解析式为，
抛物线的解析式为，
．
，
，
①，
，
设，过点作轴于，则轴，
，
，
，
时，，
，
时，，
，
或；
②，
设，过点作于，则，
，即，
，
，
，
化简得，
解得：，
，
③，
，
化简得，
解得：，
此时，点与重合，不合题意，舍去；，
；
综上所述，点的坐标为或或或．