河北省唐山市乐亭县2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份河北省唐山市乐亭县2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，在中，，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：在中，，，，
，
故选：．
2. 方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，，，…，，可用如下算式计算方差：，其中“5”是这组数据的（ ）
A. 最小值B. 平均数C. 中位数D. 众数
【答案】B
【解析】方差中“5”是这组数据的平均数.
故选B．
3. 已知线段b是线段、c的比例中项，且，那么b:c的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得b2=ac，
即，
∵，
∴.
故选A.
4. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A. ∠ABD=∠CB. ∠ADB=∠ABCC. D.
【答案】C
【解析】∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；
当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；
AB：BD=CB：CD时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，
故选：C．
5. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
，
，
，
∴.
故选：B．
6. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A. 1：2B. 1：4C. 1：3D. 1：9
【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故选：A．
7. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、，解得：，故本选项符合题意；
C、，，解得，故本选项不符合题意；
D、，，解得，故本选项不符合题意．
故选：B．
8. 如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知，则小车上升的高度是（ ）
A. 5米B. 6米C. 6.5米D. 12米
【答案】A
【解析】解：如图AC=13，作CB⊥AB，
∵csα=，
∴AB=12，
∴BC==5，
∴小车上升的高度是5m．
故选A．
9. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】解：由题意得，，且，
解得，，且．
故选：D．
10. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A. 0．8B. 0．96C. 1D. 1．08
【答案】B
【解析】解：
，
，
，
故选：
11. 在图（1）、（2）所示△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A. 只有（1）中的与△ABC相似
B. 只有（2）中的与△ABC相似
C. 都与△ABC相似
D. 都与△ABC不相似
【答案】B
【解析】解：图形（1）中标字母如图，
∵BE=2，BA=4，，BF=3，BC不定，，
∴（1）中的△BEF不与△ABC相似，
故选项A不正确；
图2中标字母如图，
∵GC=4，BH=1，AB=4，AC=6．
∴AH=AB-BH=4-1=3，AG=AC-GC=6-4=2，
∴，，
∴，
∵∠HAG=∠CAB，
∴△AHG∽△ACB，
故选项B正确，
，
故选项C不正确，选项D不正确．
故选择B．
12. 用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为，由题意得
，
故选：C．
13. 如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（ ）秒后，与相似．
A. 2B. C. 或2D. 或2
【答案】C
【解析】解：设x秒后，与相似，则，
当与是对应边时，则，
，
解得，
当与是对应边时，则，
，
解得，
故经过2秒或秒后，与相似，
故选：．
14. 如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出杆长处的点离地面的高度，又量得杆底与坝脚的距离，则石坝的坡度为（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】B
【解析】解：如图，过作于，则，
，即，
解得，
中，，
又，
，
石坝的坡度为，
故选：B．
15. 关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ）
A. 甲和乙B. 乙和丙C. 乙和丁D. 甲和丁
【答案】C
【解析】解：甲需要考虑的情况，故甲错误；
乙是因式分解法解方程，过程完全正确，故乙完全正确；
丙是公式法解方程，过程中的错误为：，应该是3，故丙错误；
丁是配方法解方程，过程完全正确，故丁完全正确．
故选：C．
16. 如图，在中，点D，E分别是上的点，且，若，则（ ）
A. 1：1 6B. 1∶18C. 1：20D. 1：24
【答案】C
【解析】解：∵，
∴设的面积为a，则的面积为4a，
∵和的点D到的距离相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，共12分，17、18题每空3分，19、20每空2分）
17. 计算：___________．
【答案】1
【解析】，
故答案为：1．
18. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为______．
【答案】89
【解析】解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，
89出现的次数最多，
以上数据的众数为89．
故答案为：89．
19. 一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的元降至元，若两次降价的百分率相同，求平均每次降价的百分率．如果设平均每次降价的百分率是x，根据题意，可列方程为___________．
【答案】
【解析】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意，可列方程为，，
故答案为：．
20. 如图6个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形中，若小正方形的边长为1，则：（1）__________；（2）__________．
【答案】（1）. （2）. 8
【解析】解：如图，作于，则，，，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
故答案为：，8．
三、解答题（本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 如图，在和中，，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴，
∵，
∴．
22. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
根据以上信息，回答下列问题．
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
解：（1）从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的的得分上下波动幅度，
∴得分更稳定的队员是甲，
乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30，
∴中位数为，
故答案为∶乙，29；
（2）因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，
所以甲队员表现更好；
（3）甲的综合得分为，
乙的综合得分为，
∵，
∴乙队员表现更好．
23. 如图1，为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为.长度均为的连杆，与始终在同一水平面上.
（1）旋转连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点离桌面的高度.
（2）将（1）中的连杆绕点逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点离桌面的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
解：（1）过点作，垂足为，如图2，
则四边形是矩形，，
∴，
∴.
（2）下降了.
如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，
∵，∴，
又∵，∴，
∴，，
∴
.
∴下降高度：
24. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，
①若时，请判断的形状并说明理由；
②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长．
解：（1）证明：∵
，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）①时，方程为；
解得，
∴，，
∵，
∴ ，
∴是直角三角形；
②∵，
∴，
∴、中有一个数为5，
当时，原方程为，
即，
解得，，
当时，原方程为，解得，，
等腰三角形的周长为14；
当时，原方程为，解得，，
等腰三角形的周长为16．
25. 阅读下列材料，并完成相应学习任务：
古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律．
学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题：
（1）根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示）
（2）请判断是第几个三角形数？写出解答过程；
（3）若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果．
解：（1）因为第一个图三角形的个数为：，
第二个图三角形的个数为：，
第三个图三角形的个数为：，
，
第一个图三角形的个数为：．
故答案为：．
（2）根据题意得：，
整理得，
解得，．
因为是正整数，
所以舍去，
是第12个三角形数．
（3）设较小三角形数是，
则较大三角形数是，
由题意得：，
解得，（舍去），
当时，，
，
所以这两个三角形数是和．
26. 综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是__________；
（2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积；
（3）【类比迁移】在（2）条件下，连接交于点N，则__________；
（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点P，使，请直接写出线段的长度．
解：（1）将线段绕点B顺时针旋转得到线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图所示，过N点作于点M，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得：，
，
；
（4）当P在上时，
在中，，
当P与A重合时，，
，
当P在上时，过B作于M，
，
，
，
，
，，，
，，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
综上所述，线段的长度为：2或．甲
乙
丙
丁
两边同时除以得到．
移项得：
，
∴，
∴或，
∴，．
整理得
∵，，，
∴
∴
∴，．
整理得
配方得：
，
∴，
∴，
∴，．
队员
平均每场得分
平均每场篮板
平均每场失误
甲
26.5
8
2
乙
26
10
3