浙江省湖州市2023-2024学年高二（上）期末调研测试数学试卷（解析版）

这是一份浙江省湖州市2023-2024学年高二（上）期末调研测试数学试卷（解析版），共16页。
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
令，
解得，又，
所以，所以.故选：D.
2. 在复平面上，复数（为虚数单位）对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】,
其在复平面上对应的点为，在第三象限，
故选：C.
3. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，解得，
显然“”可以推出“”， “”不可以推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由双曲线，令，解得，
所以渐近线方程为.
故选：B.
5. 已知数列的前n项和为，若，且（），则（ ）
A. 为等比数列B. 为等差数列
C. 为等比数列D. 为等差数列
【答案】A
【解析】由得当时，，
两式相减得，即，
又当时，，
所以数列即不是等比数列也不是等差数列，CD错误；
所以，
当时，
所以当时，，
符合，
所以，
又时，所以为等比数列，A正确，B错误.
故选：A.
6. 已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切
C. 外离D. 与m的取值有关
【答案】C
【解析】圆：，
即，圆心，半径，
圆：，
即，圆心，半径，
所以当时，
所以圆与圆的位置关系是外离.
故选：C.
7. 已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】空间内三点，，，
所以，，，，
由，
所以，
所以点A到直线的距离.故选：A.
8. 已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，则，又，
则，得，即，
又，
，
由正弦定理得，
设，
则，即，
又，所以，
所以离心率.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若在上有最小值，则在上有最大值2
D. 若在上单调递增，则在上单调递减
【答案】BC
【解析】对于A，由奇函数定义可得，若，则不成立，故A错误；
对于B，由奇函数定义可得，得，故B正确；
对于C，由奇函数图象关于原点对称，可知C正确；
对于D，由奇函数图象关于原点对称，可知在上单调递增，故D错误.
故选：BC.
10. 对于直线l：（，），下列说法正确的是（ ）
A. 直线l一个方向向量为
B. 直线l恒过定点
C. 当时，直线l的倾斜角为60°
D. 当且时，l不经过第二象限
【答案】ABD
【解析】对于A：直线l的一个方向向量为，A正确；
对于B：直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点，B正确；
对于C：当时，直线l的斜率为，此时倾斜角为，C错误；
对于D：当且时，直线l为，所以l不经过第二象限，D正确.
故选：ABD.
11. 设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则数列有最大项
B. 若数列有最大项，则
C. 若数列是递增数列，则对任意，均有
D. 若对任意，均有，则数列是递增数列
【答案】ABD
【解析】因为，
若，对应二次函数开口向下，由二次函数的性质可知，数列有最大项，正确；
若，二次函数开口向上，无最大项
故若数列有最大项，有，B正确；
若数列是递增数列，则，若，则，故不一定对任意，均有，C错误；
若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有
故若对任意，均有，有数列是递增数列，D正确．
故选：ABD
12. 在正方体中，点E，F满足，，且x，y，．记EF与所成角为，与平面ABCD所成角为，则（ ）
A. 若，三棱锥E-BCF的体积为定值
B. 若，则
C. ，
D. ，总存在，使得平面
【答案】ACD
【解析】对于A：若，点在过线段的三等分点（靠近点）并且与平行的线上，
因为点在线段上，且，
所以点到线段的距离为定值，则为定值，
又点到面，即面的距离不变，
所以为定值，A正确；
对于B：若，则点为线段的中点，点为线段的交点，
若，又，且面，，
所以面，又面，所以，设正方体的棱长为，
则，
此时，即，与矛盾，
故不正确，B错误；

对于C：，则点在线段上（不含端点），点在正方形内（不含边界），
过作交于，连接，则为EF与所成角，即，因为面，，
所以面，则为与平面ABCD所成角，即，
因为为直角三角形，所以，C正确；

对于D：过作交于，过作交于，连接，
此时满足，，，，
接下来只需要证明平面即可，
因为，面，面，
所以面，
又，面，面，
所以面，又，且面，
所以面面，又面，
所以平面，
所以，总存，使得平面，D正确.

故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为_____________．
【答案】
【解析】首先从中任取两个小球有共个基本事件，
取出的小球中至少有一个号码为奇数有共个基本事件，
所以取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为.
故答案为：.
14. 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点，若，则直线的斜率为______.
【答案】
【解析】因为，，，
所以，所以，，
所以，
故答案为：.
15. 已知为等差数列的前n项和，若，，则_________．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
由得，整理得①
由得，整理得②，
由①②得，
所以.
故答案为：.
16. 在三棱锥中，，，点在上，，为中点，则_____________．
【答案】
【解析】由已知得，
则
，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列是公差不为0的等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和．
解：（1）设数列是公差为，等比数列的公比为，
由已知得，，，，
所以，解得（舍去）或，
所以；
（2）由（2）的，
所以数列的前10项和为.
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且边AB上的高等于．
（1）求角A的值；
（2）若的面积为18，求边BC的长．
解：（1）因为，
由正弦定理可得：，
且，
则，可得，
即，且，
所以.
（2）由的面积可得，
即，解得，
由余弦定理可得，
即，
所以边BC的长为.
19. 已知圆O：，直线．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值；
（2）若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值．
解：（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为，
则，解得；
（2）当时，直线，即
由已知得
又，所以的最小值为，
又因为四边形的面积的为，所以其最小值为
20. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．
（1）求证：：
（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
解：（1）取线段的中点，连接，
由分别时线段的中点可得
所以四点共面，
在直三棱柱中，侧面为正方形，，
则侧面也为正方形，
且，所以，
则，
所以，又，面，
所以面，又面，
所以；
（2）由（1）得面，又面，
所以，又，面，
所以面，又，
所以面，又面，
所哟，故两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
，
则
设平面的一个法向量为，
则，取可得，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为
所以.
21. 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前n项和等于．
（1）求数列的前n项和；
（2）求数列的通项公式．
解：（1）由已知①，
又，即②
由①②得，
所以，
所以；
（2）因为数列的前n项和等于，
所以当时，，
所以，
又，即，符合，
所以当时，，
即，
所以数列常数数列，
所以，
则.
22. 设双曲线C：（，）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线与C的右支相交于A，B两点．
（1）当直线与x轴垂直，且两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C的焦距为4，且恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．
解：（1）当直线l与x轴垂直时,令得，解得，
所以两点的距离为为，
根据题意可得，
所以，
整理得；
（2）双曲线C的焦距为4，则，即，
由于直线的斜率不为零，设其方程为，
联立，消去得，
设，
则，，
由于两点均在双曲线的右支上，
所以，
所以，即
所以
，
由恒成立，得时，均有，并且不可能同向，即，由于，
因为不等式左边是关于的增函数，
所以只需时，成立即可，
解得，又，
所以，
所以双曲线C的实轴长的取值范围为.