浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高二（上）期末质量调研数学试卷（解析版）

这是一份浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高二（上）期末质量调研数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 直线经过两点，则的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题知：，
设直线的倾斜角为，
故，
所以倾斜角.
故选：C
2. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线方程可转化为：，
故焦点在轴正半轴，且，
故焦点坐标为.
故选：D.
3. 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选:C
4. 已知分别是空间四边形的对角线的中点,点是线段的中点，为空间中任意一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知：.
故选：D
5. 若方程表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由方程可得，
所以当时表示圆，解得.
故选：D.
6. 在正方体中，过作一垂直于的平面交平面于直线，动点在直线上，则直线与所成角余弦值的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由正方体性质可知，，，，
平面，平面，
易知平面，平面平面，
故动点在直线上，
设正方体棱长为1，并如图建立空间直角坐标系，
则，
设两直线所成角为，，
故，即，
令，则，
所以当时，即时，.
故选：A
7. 已知等腰直角的斜边分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由点均在球的球面上，且共圆（不与重合），
所以（不与重合），
又为等腰直角三角形，为斜边，即有，
如上图，△、△、△都为直角三角形，且，
由平面图到立体图知：，，
又面面，面面，面，
所以面，同理可得面，
将翻折后，的中点分别为△，四边形外接圆圆心，
过作面，过作面，它们交于，即为外接球球心，如下图示，
再过作面，交于，连接，则为矩形，
综上，，，则为中点，
所以，而，，
令且，则，故，，
所以球半径，
当时，，故球表面积的最小值为.
故选：D
8. 设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不妨设椭圆的标准方程为，
因为，所以，
又，所以，，
所以，
如图所示，由余弦定理知：，
整理得，又，
解得：离心率.
故选：B.
二、多选题
9. 对于两条不同直线和两个不同平面，下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则或
C. 若，则或
D. 若，则或
【答案】AD
【解析】若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，，
则的方向向量垂直，所以的方向向量与的方向向量垂直，则，A正确；
若，可平行，可相交，可异面，不一定垂直，B错；
若，则或或相交，C错误；
若，则或，D正确.
故选：AD
10. 已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A. 圆和圆有两条公切线
B. 直线的方程为
C. 圆上存在两点和使得
D. 圆上的点到直线的最大距离为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得，
即得公共弦的方程为，
故B正确；
对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.
故选：ABD.
11. 两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为2θ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α．当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当时，截口曲线为双曲线．在长方体中，，，点P在平面ABCD内，下列说法正确的是（ ）
A. 若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等，则点P的轨迹为抛物线
B. 若点P到直线的距离与点P到的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆
C. 若，则点P的轨迹为抛物线
D. 若，则点P的轨迹为双曲线
【答案】BD
【解析】A：如下图，P到直线的距离与P到平面的距离相等，又P在平面ABCD内，
∴在平面内，P到距离与P到直线的距离相等，又，
∴在直线上，故P的轨迹为直线，错误；
B：P到直线的距离与P到的距离之和等于4，
同A知：平面内，P到直线的距离与P到的距离之和等于4，而，
∴P的轨迹为椭圆，正确；
C：如下示意图，根据正方体的性质知：与面所成角的平面角为，
∴时，相当于以为轴，轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线，
而，则，即，故P的轨迹为椭圆，错误；
D：同C分析：时，相当于以为轴，轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线，
而，即，故P的轨迹为双曲线，正确.
故选：BD.
12. 如图，直平面六面体的所有棱长都为2，，为的中点，点是四边形（包括边界）内，则下列结论正确的是（ ）

A. 过点的截面是直角梯形
B. 若直线面，则直线的最小值为
C. 存在点使得直线面
D. 点到面的距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，过点的截面即为平面，建立空间直角坐标系，
易知，故，，
故，故，所以四边形直角梯形，故选项A正确；
对于B，如图分别为的中点，又为的中点，
所以平行且等于，，
又平行且等于，
所以平行且等于，即四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平行且等于，平行且等于，
所以平行且等于，即四边形为平行四边形，
所以，
又因为，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，面，
故平面平面，故点在线段上运动，
易知，故，
故，故的最小值即为，故选项B正确；
对于C，设平面的法向量为，故，
令，则，故，设，而，
故，要使得面，故，
解得：，因点在四边形（包括边界）内，
故须满足且，故选项C错误；
对于D，，故，
故当时，点到面的距离最大，最大值为，故选项D正确.故选：ABD.
三、填空题
13. 经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________.
【答案】
【解析】双曲线为等轴双曲线，则可设方程为，
将代入可得，
即，
故方程为，化为标准方程为.
故答案为：.
14. 设两个等差数列和的前项和分别为和,且,则_____.
【答案】
【解析】由题意可得和均为等差数列,
所以.
故答案为:
15. 已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数______.
【答案】
【解析】由抛物线的对称性，如图，不妨设交点为，
且满足，则切线斜率，
故由题知：，故解得：，
代入圆方程可得：，故解得：.故答案为：.
16. 正三棱锥，,点为侧棱的中点,分别是线段上的动点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】如图所示，过点作于，则，
中，，故，
，
设，，则，
故，所以，
，，故，
故，
故，
而
，（），
当且仅当，即时等号成立，
所以；
故答案为：.
四、解答题
17. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由得：，解得（舍去），，于是.
（2）由得，解得或.
当时，由得，∴；
当时，由得，∴，
综上所述，故或21.
18. 已知圆过点和点，圆心在直线上.
（1）求圆的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
（2）若直线经过点，且被圆截得的弦长为4，求直线的方程.
解：（1）设圆的方程为，则，
解得，
所以圆的方程为：，
圆心为，半径为；
（2）由（1）知，圆心到直线的距离为，
于是当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当直线斜率存在时，不妨设直线方程为，
即，令，
解得，直线方程是，
综上所述，直线的方程是：或.
19. 如图，在三棱锥中，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.
（1）证明：；
（2）求直线和平面所成的角的正弦值.
解：（1）设为中点，由题意得平面，所以.
因为，所以.所以平面.
由，分别为的中点，得且，从而且，所以是平行四边形，所以.
因为平面，所以平面.
（2）作，垂足为，连结.
因为平面，所以.
因为，所以平面.
所以平面.
所以为直线与平面所成角的平面角.
由，得.
由平面，得.
由，得.
所以
20. 已知抛物线的焦点为，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且.
（1）求的值；
（2）已知点，是抛物线上不同的两点，且满足.证明：直线恒过定点.
解：（1）显然点，
由抛物线定义可知，，解得，
所以抛物线方程为：；
（2）点在抛物线上，设直线，
点，
联立，得，
在下，，
所以
，
整理，得，将代入直线，得，
即，所以直线恒过定点.
21. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面是边长为2的正三角形，侧面平面.

（1）证明：；
（2）若点为棱上的动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值.
解：（1）取中点，连接，
由题可知正和，， ，
又∵，平面，∴平面，又平面，
∴；
（2）因为侧面平面，侧面平面侧面，故平面,
分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：
则，
，
设，
∴
，
∴，
又，设面的法向量是，
则，
令，则，
又，设面的法向量是，
则，令，则，
设平面与平面夹角为，
故，
因为，开口向上，且对称轴为，
故的最小值为，则，
所以平面与平面夹角的正弦值的最小值为.
22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为，所以，于是.
设椭圆上任一点，椭圆方程为，，=
①当，即时，（此时舍去；
②当即时，
综上椭圆C的方程为．
（2）圆心到直线的距离为，弦长，
所以的面积为
点,
当时，由得
综上所述，椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大，且最大值为.