备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点17 正、余弦定理及解三角形（附解析）

这是一份备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点17 正、余弦定理及解三角形（附解析），共47页。学案主要包含了正弦定理，余弦定理，解三角形的实际应用等内容，欢迎下载使用。
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2．应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
一、正弦定理
1．正弦定理
在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立．
2．常见变形
（1）
（2）
（3）
（4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.
3．解决的问题
（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
4．在中，已知，和时，三角形解的情况
二、余弦定理
1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
2．余弦定理的推论
从余弦定理，可以得到它的推论：
.
3．解决的问题
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．
4．利用余弦定理解三角形的步骤
三、解三角形的实际应用
1．三角形的面积公式
设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.
（1） (h为BC边上的高)；
（2）；
（3）(为三角形的内切圆半径)．
2．三角形的高的公式
hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA．
3．测量中的术语
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角
相对于某一正方向的水平角.
①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；
②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；
③南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；
②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
4．解三角形实际应用题的步骤
考向一 利用正、余弦定理解三角形
利用正、余弦定理求边和角的方法：
（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．
（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．
常见结论：
（1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等．
（2）三角形中的三角函数关系：
； ；
； .
典例1 在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若bsin2A+3asinB=0，b=3c，则的值为
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【解析】由bsin2A+3asinB=0，结合正弦定理，可得sinBsin2A+3sinAsinB=0，
即2sinBsinAcsA+3sinAsinB=0，
由于sinBsinA≠0，所以csA=-32，
因为0＜A＜π，所以A=5π6．
又b=3c，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccsA=3c2+c2+3c2=7c2，
即a2=7c2，所以ca=77.
故选D．
典例2 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+bsinB+2bsinA=csinC.
（1）求C；
（2）若a=2,b=22,线段BC的垂直平分线交AB于点D,求CD的长.
【解析】（1）因为asinA+bsinB+2bsin A=csinC,所以a2+b2+2ab=c2.
由余弦定理得csC=a2+b2-c22ab =-22，
又0