备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点07 指数与指数函数（附解析）

这是一份备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点07 指数与指数函数（附解析），共30页。学案主要包含了指数与指数幂的运算，指数函数的图象与性质等内容，欢迎下载使用。
（1）了解指数函数模型的实际背景.
（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.
（4）知道指数函数是一类重要的函数模型.
一、指数与指数幂的运算
1．根式
（1）次方根的概念与性质
（2）根式的概念与性质
【注】速记口诀：
正数开方要分清，根指奇偶大不同，
根指为奇根一个，根指为偶双胞生．
负数只有奇次根，算术方根零或正，
正数若求偶次根，符号相反值相同．
负数开方要慎重，根指为奇才可行，
根指为偶无意义，零取方根仍为零．
2．实数指数幂
（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.
于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且
.
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（2）有理数指数幂
规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：
①；
②；
③.
（3）无理数指数幂
对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.
一般地，无理数指数幂是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
二、指数函数的图象与性质
1．指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.
【注】指数函数的结构特征：
(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：仅有自变量x；
(3)系数：ax的系数是1.
2．指数函数的图象与性质
【注】速记口诀：
指数增减要看清，抓住底数不放松；
反正底数大于0，不等于1已表明；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过(0，1)点．
3．有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域与值域
形如的函数的定义域就是的定义域．
求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域．
(2)判断复合函数的单调性
令u=f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与f(−x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
考向一 指数与指数幂的运算
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
典例1 化简并求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）；
（2）.
【名师点睛】把根式化为分数指数幂，再按照幂的运算法则进行运算即可．
1．________．
考向二 与指数函数有关的图象问题
指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)的图象变换如下：
【注】可概括为：函数y=f(x)沿x轴、y轴的变换为“上加下减，左加右减”．
典例2 函数y=ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是
【答案】C
【解析】当x=1时，y=a1－a=0，
所以y=ax－a的图象必过定点(1，0)，
结合选项可知选C.
2．函数的图像是
A．B．
C．D．
考向三 指数函数单调性的应用
1．比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
2．解指数方程或不等式
简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
典例3 设，则的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于函数，在其定义域上是减函数，
，，即.
在同一平面直角坐标系中画出函数和函数的图象，
可知，即.
从而.
故A正确. SKIPIF 1 < 0
【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分与两种情况讨论.
3．设，，（其中是自然对数的底数），则
A．B．
C．D．
典例4 设函数，若，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，不等式可化为，
即，解得；
当时，不等式可化为，所以．
故的取值范围是.
故选C．
【名师点睛】利用指数函数的单调性，分别讨论当及时，的取值范围，最后综合即可得出结果．
4．若，则
A． B．
C． D．
考向四 指数型函数的性质及其应用
1．指数型函数中参数的取值或范围问题
应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论．
2．指数函数的综合问题
要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.
典例5 已知函数，则fx是
A．奇函数，且在R上是增函数 B．偶函数，且在0,+∞上是增函数
C．奇函数，且在R上是减函数 D．偶函数，且在0,+∞上是减函数
【答案】C
【解析】易知函数的定义域为，关于原点对称，
且，
则，
所以是奇函数，
显然函数是减函数.
故选C．
5．若函数f(x)=3x＋3－x与g(x)=3x－3－x的定义域均为R，则
A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
典例6 若函数的最小值为，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，f（x）＝，单调递减，
∴f（x）的最小值为f(2)=1；
当x＞2时，f（x）＝单调递增，
若满足题意，只需恒成立，
即恒成立，
∴，∴a≥0.
故选D．
典例7 函数的值域为________．
【答案】(0，2]
【解析】设，又由指数函数为单调递减函数，即可求解．
由题意，设，
又由指数函数为单调递减函数，
知当时，，
即函数的值域为．
6．若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为
A． B．
C． D．
1．计算：
A．3 B．2
C． D．
2．若函数f(x)=2x,x0 B．3a0 D．│a│>│b│
4．（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是
5．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（lg3）＞（）＞（）
B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3）
D．（）＞（）＞（lg3）
6．（2017年高考新课标Ⅰ卷理科）已知集合A={x|x0，
，
所以.
故选B.
【名师点睛】由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a,b,c的范围，然后比较其大小即可.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
4．【答案】D
【解析】因为，所以由指数函数的单调性可得，
因为的符号不确定，所以时可排除选项A、B；
时，可排除选项C，
由指数函数的性质可判断正确.
故选D．
【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而作出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.
5．【答案】D
【解析】因为f(－x)=3－x＋3x=f(x)，g(－x)=3－x－3x=－g(x)，
所以f(x)是偶函数，g(x)为奇函数.
故选D.
6．【答案】B
【解析】由题得在（0,1）上恒成立，
设，所以，
由于函数是增函数，
所以.
故选B．
专题冲关
1．【答案】D
【解析】原式.
故选D.
2．【答案】A
【解析】因为x