备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件（附解析）

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（1）理解命题的概念.
（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
（3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
一、命题及其关系
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
(2)四种命题间的关系
(3)常见的否定词语
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．
二、充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件的概念
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；
(3)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(4) 若p⇔q，则p是q的充要条件；
(5) 若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
2．必记结论
(1)等价转化法判断充分条件、必要条件
①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；
②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；
③p是q的充要条件是的充要条件；
④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
(2)集合判断法判断充分条件、必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则
①若，则p是q的充分条件；
②若，则p是q的必要条件；
③若，则p是q的充分不必要条件；
④若，则p是q的必要不充分条件；
⑤若，则p是q的充要条件；
⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.
考向一 四种命题的关系及其真假的判断
四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：
1．判断四种命题间关系的方法
①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用.
2．命题真假的判断方法
①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．
②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.
典例1 设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是
A．逆命题与否命题均为真命题
B．逆命题为假命题，否命题为真命题
C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题
D．否命题为假命题，逆否命题为真命题
【答案】A
【解析】设a、，原命题“若，则”是假命题（取a=−1，b=1可进行验证），
原命题的逆否命题是假命题；
原命题的逆命题：“若，则”是真命题，
原命题的否命题是真命题．故选A．
【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解答本题时，判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．
1．能说明“设a，b为实数，若，则直线与圆相切”为假命题的一组a，b的值依次为__________．
典例2 命题“若，则”的逆否命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故命题“若，则”的逆否命题是若，则 ，故选C．
【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．
2．下列说法正确的是
A．命题“，使”的否定为“，都有”
B．命题“若向量与的夹角为锐角，则”及它的逆命题均为真命题
C．命题“在锐角中，”为真命题
D．命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”
考向二 充分、必要条件的判断
充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下：
1．命题判断法
设“若p，则q”为原命题，那么：
(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；
(2)原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件；
(3)当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件；
(4)当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．集合判断法（同必记结论）
3．等价转化法（同必记结论）
典例3 设a,b是两条不同的直线，α是平面，a⊄α,b⊂α,则“a//b”是“a//α”成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵a⊄α,b⊂α，∴当a∥b时，一定有a∥α，即充分性成立.反之，当a∥α时，a，b可能平行，可能异面，即必要性不成立，故“a//b”是“a//α”成立的充分不必要条件，故选A．
【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分而不必要条件，若是的真子集，则是的必要而不充分条件．
3．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
典例4 若条件，且是的充分不必要条件，则可以是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若是的充分不必要条件，则区间是q的真子集，本题选B.
【名师点睛】有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．
4．已知，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是
A．B．
C．D．
考向三 充分、必要条件的应用
充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：
1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.
2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
典例5 设，q:x2-2m+1x+m2+m≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为
A．-2,1 B．-3,1
C．-2,0∪0,1 D．-2,-1∪0,1
【答案】D
【解析】p对应的集合为x|-2≤x