2025年中考数学一轮总复习精讲精练 微专题03 代数式、整式与因式分解

这是一份2025年中考数学一轮总复习精讲精练 微专题03 代数式、整式与因式分解，共13页。试卷主要包含了 代数式， 整式的有关概念， 整式的运算， 因式分解， 非负数， 分解因式，16)等内容，欢迎下载使用。
构建知识体系
考点梳理
1. 代数式(6年6考)
2. 整式的有关概念(6年2考)
(1)整式有关概念
(2)同类项：所含字母相同，并且相同字母的③ 也相同的项.所有常数项都是同类项
3. 整式的运算(6年4考)
(1)幂的运算
(2)整式的运算
①整式的加减，可归结为去括号与合并同类项
②单项式的乘法运算：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，单独出现的字母连同它的指数作为积的因式
③多项式的乘法运算法则：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；
(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
(3)乘法公式平方差公式:(a＋b)(a－b)＝④ 完全平方公式:(a±b)2＝⑤
4. 因式分解(6年2考)
(1)概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式
(2)方法：①提取公因式法：ma＋mb＝m(a＋b)；
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2
5. 非负数(6年2考)
(1)常见的非负数类型有a2，｜b｜，c(c≥0)
(2)若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0，如：若a2＋｜b｜＋c＝0，则有a2＝0，｜b｜＝0，c＝0，即a＝b＝c＝0
练考点
1. 下列对代数式－3x的意义表述正确的是( )
A. －3与x的和
B. －3与x的差
C. －3与x的积
D. －3与x的商
2. (1)已知x＝－1，则x2＋2x＝ ；
(2)已知2a－b＝1，则代数式8a－4b＋2的值为 .
3. 已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是( )
A. 3x2 B. 2 m3n
C. －2x2y D. 2a3
4. 13x3y2是 次单项式.
5. 计算：
(1)－2x＋x＝ ；
2x3－x3＝ ；
(2)x·x3＝ ；
x8÷x2＝ ；
(3)(－2x2)3＝ ；
(4)2x2·(x－1)＝ ；
(5)(x－1)(2x＋1)＝ ；
(6)(x＋2)2＝ ；
(x＋2)(x－2)＝ .
6. 分解因式：
(1)x2－xy＝ ；
(2)2x2－8＝ ；
(3)x2＋4x＋4＝ .
7. (1)若｜x－1｜＋y－1＝0，则x＋2y的值为 ；
(2)若x2＋1＋y+2＝1，则xy的值为 ；
(3)2－x＋x－2＝0，则x的值为 .
高频考点
考点1 列代数式及求值(6年6考)
例1 (人教七上习题改编)根据题意列代数式：
(1)原量a增加10％为 ；比原量a的n倍多m为 ；
(2)原价a的8折为 ；
(3)x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品总价为 元；
(4)每天完成的工作量为a，则要完成m的工作量所需天数为 ；
(5)一月份的产值为a万元，二月份的产值比一月份减少了m％，三月份的产值比二月份增加了n％，则三月份的产值为 万元.
例2 求下列代数式的值：
(1)已知x2＋x－2＝0，则2x2＋2x的值 ；
(2)已知x＋y＝3，xy＝2，则(x－y)2的值为 ；
(3)(2024成都)若m，n为实数，且(m＋4)2＋n－5＝0，则(m＋n)2 的值为 .
考点2 整式的有关概念(6年2考)
例3 (2024佛山南海区一模)单项式43πr3表示球的体积，其中π表示圆周率，r表示球的半径，下列说法正确的是( )
A. 系数是43，次数是3 B. 系数是43π，次数是3
C. 系数是43，次数是4 D. 系数是43π，次数是4
变式1 (2024广元)如果单项式－x2my3与单项式2x4y2－n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点(m，n)在( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
考点3 整式的运算(6年4考)
例4 (2024烟台)下列计算结果为a6的是( )
A. a2 ·a3 B. a12÷a2 C. a3＋a3 D. (a2)3
例5 (人教七上习题改编)计算：
(1)(1＋x)(1－x)＋x(x＋2)；
已知y2－xy－5＝0，求(3xy3－6x3y)÷3xy＋x(2x－y)的值.
考点4 因式分解(6年2考)
例6 (北师七上习题改编)因式分解：
(1)4ax2－ay2＝ ；
(2)4xy2－4x2y－y3＝ ；
(3)(p－4)(p＋1)＋3p＝ .
变式2 (2024中山模拟)下列因式分解正确的是( )
A. x2－x＝x(x＋1) B. a2－3a－4＝a(a－3)－4
C. a2＋b2－2ab＝(a＋b)2 D. x2－y2＝(x＋y)(x－y)
考点5 规律探索(2019.16)
例7 根据下列数式规律，回答问题：
(1)等差类有一列数1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 ；
(2)等比类有一列数3，9，27，81，243，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 ；
(3)递增类有一列数1，2，4，7，11，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 ；
(4)周期类有一列数－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 ；
(5)平方类按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，…，则第n个单项式是 .
例8 根据下列图形规律，回答问题：
(1)图形个数固定累加把白色正方形按图①所示的规律拼图案，则第5个图案中白色正方形的个数是 ；
例8题图①
(2)图形个数递增累加如图②都是由同样大小的圆点按一定规律组成，则第8个图形中圆点的个数是 ；
例8题图②
(3)图形个数为两种变化之和如图③都是由同样大小的正三角形按照一定规律组成，则第n个图形中正三角形的个数是 .
例8题图③
真题及变式
命题点1 代数式求值(6年5考)
1. (2021广东5题3分)若｜a－3｜＋9a2－12ab+4b2＝0，则ab＝( )
A. 3 B. 92 C. 43 C. 9
2. (2020广东13题4分)若a－2＋｜b＋1｜＝0，则(a＋b)2 020＝ .
3. (2020广东14题4分·人教八上习题改编)已知x＝5－y，xy＝2.计算3x＋3y－4xy的值为 .
4. (2021广东15题4分·北师八下习题改编)若x＋1x＝136且0＜x＜1，则x2－1x2＝ .
变式
4.1 变思维方式——直接平方变为化简后整体带入
已知1y－1x＝1x－y，那么yx＋xy的值为 .
命题点2 整式的有关概念(6年2考)
5. (2022广东12题3分)单项式3xy的系数为 .
6. (2020广东12题4分)如果单项式3xmy与－5x3yn是同类项，那么m＋n＝ .
命题点3 整式的运算(6年4考)
7. (2024广东5题3分)下列计算正确的是( )
A. a2·a5＝a10 B. a8÷a2＝a4
C. －2a＋5a＝7a D. (a2)5＝a10
8. (2021广东4题3分·人教八上习题改编)已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝( )
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
9. (2020广东18题6分·人教八上习题改编)先化简，再求值：(x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－2x2，其中x＝2，y＝3.
命题点4 因式分解(6年2考)
10. (2023广东11题3分)因式分解：x2－1＝ .
11. (2020广东11题4分)分解因式：xy－x＝ .
命题点5 规律探索(2019.16)
12. (2019广东16题4分)如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图②所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图①)拼出来的图形的总长度是 (结果用含a，b代数式表示).
第12题图
拓展训练
13. (2024东莞模拟)如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…，在射线ON上，点B1，B2，B3，…，在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2019B2019A2020的边长为 .
第13题图
新考法
14. [代数推理](2024珠海模拟)杰杰是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：海、爱、我、珠、丽、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A. 我爱美 B. 珠海美丽 C. 爱我珠海 D. 美我珠海
15. [数形结合](北师七下复习题改编)如图①，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图②所示，将A，B并排放置后构造新的正方形如图③所示.若图②和图③中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为( )
第15题图
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
16. [跨信息技术学科] 日常生活中我们常使用的数是十进制数，而计算机程序使用的数是二进制数(只有数码0和1)，它们两者之间可以互相换算，如将二进制数1 001记为(1 001)2，换算成十进制数应为：(1 001)2＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝9，按此方式，将二进制(101)2换算成十进制数为 .
考点精讲
①乘积 ②3 ③指数 ④a2－b2 ⑤a2±2ab＋b2
练考点
1. C
2. (1)－1；(2)6
3. D
4. 5
5. (1)－x；x3；(2)x4；x6；(3)－8x6；(4)2x3－2x2；(5)2x2－x－1；(6)x2＋4x＋4；x2－4
6. (1)x(x－y)；(2)2(x－2)(x＋2)；(3)(x＋2)2
7. (1)3；(2)0；(3)2
高频考点
例1 (1)a(1＋10％)；an＋m；
(2)0.8a；(3)(ax＋by)；(4)ma；
(5)a(1－m％)(1＋n％)
例2 (1)4； 【解析】∵x2＋x－2＝0，∴x2＋x＝2，∴2x2＋2x＝2(x2＋x)＝2×2＝4.
(2)1； 【解析】∵(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝(x＋y)2－4xy，∴当x＋y＝3，xy＝2时，原式＝32－4×2＝9－8＝1.
(3)1 【解析】∵(m＋4)2＋n－5＝0，∴m＋4＝0且n－5＝0，解得m＝－4，n＝5，∴(m＋n)2＝(－4＋5)2＝1.
例3 B 【解析】43πr3的系数是43π，次数是3.
变式1 D 【解析】∵单项式－x2my3与单项式2x4y2－n的和仍是一个单项式，∴单项式－x2my3与单项式2x4y2－n是同类项，∴2m＝4，2－n＝3，解得m＝2，n＝－1，∴点(m，n)在第四象限.
例4 D 【解析】A.a2·a3＝a2＋3＝a5，故A选项不符合题意；B.a12÷a2＝a12－2＝a10，故B选项不符合题意；C.a3＋a3＝2a3，故C选项不符合题意；D.(a2)3＝a2×3＝a6，故D选项符合题意.
例5 解：(1)原式＝1－x2＋x2＋2x
＝1＋2x；
(2)原式＝y2－2x2＋2x2－xy＝y2－xy，
∵y2－xy－5＝0，∴原式＝5.
例6 (1)a(2x＋y)(2x－y)；
(2)－y(2x－y)2；
(3)(p＋2)(p－2)
【解析】(1)原式＝a(4x2－y2)＝a(2x＋y)(2x－y)；(2)原式＝－y(4x2－4xy＋y2)＝－y(2x－y)2；(3)原式＝p2－3p－4＋3p＝p2－4＝(p＋2)(p－2).
变式2 D 【解析】A.原式＝x(x－1)，故本选项不符合题意；B.原式＝(a－4)(a＋1)，故本选项不符合题意；C.原式＝(a－b)2，故本选项不符合题意；D.原式＝(x＋y)·(x－y)，故本选项符合题意.
例7 (1)2n－1；(2)3n；(3)12n2－12n＋1；(4)(－1)n；(5)n2an＋1
例8 (1)18；(2)36；(3)3n＋2
真题及变式
1. B 【解析】∵｜a－3｜＋9a2－12ab+4b2＝｜a－3｜＋(3a－2b)2＝0，∴a－3=03a－2b=0，解得a＝3b＝332，∴ab＝3×332＝92.
2. 1 【解析】∵a－2＋｜b＋1｜＝0，∴a－2=0b+1=0，解得a=2b＝－1，∴(a＋b)2 020＝(2－1)2 020＝1.
3. 7 【解析】∵x＝5－y，∴x＋y＝5，又∵xy＝2，∴原式＝3(x＋y)－4xy＝3×5－4×2＝15－8＝7.
4. －6536 【解析】∵x＋1x＝136，∴(x－1x)2＝(x＋1x)2－4＝(136)2－4＝2536，∵0＜x＜1，∴x－1x＜0，∴x－1x＝－56，∴x2－1x2＝(x＋1x)(x－1x)＝136×(－56)＝－6536.
变式4.1 3 【解析】∵1y－1x＝1x－y，∴x－yxy＝1x－y，∴xy＝(x－y)2，∴yx＋xy＝x2＋y2xy＝(x－y)2+2xyxy＝3xyxy＝3.
5. 3
6. 4 【解析】∵单项式3xmy与－5x3yn是同类项，∴m＝3，n＝1，∴m＋n＝3＋1＝4.
7. D 【解析】逐项分析如下：
8. D 【解析】32m＋3n＝32m·33n＝9m·27n＝3×4＝12.
9. 解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x2
＝2xy，
当x＝2，y＝3时，
原式＝2×2×3＝26.
10. (x－1)(x＋1)
11. x(y－1)
12. a＋8b 【解析】观察图形可知，2个基础图形拼接时，总长度是2a－(a－b)，3个基础图形拼接时，总长度是3a－2(a－b)，4个基础图形拼接时，总长度是4a－3(a－b)，…，∴9个基础图形拼接时，总长度是9a－8(a－b)＝a＋8b.
13. 22018 【解析】∵△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，均为等边三角形，OA1＝1，∴△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，边长分别为20，21，22，…，∴△A2019B2019A2020的边长为22018.
14. C 【解析】原式＝(x2－y2)(a2－b2)＝(x－y)(x＋y)(a＋b)(a－b)，由题意可知，(x－y)(x＋y)(a＋b)(a－b)可以表示为爱我珠海.
15. C 【解析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则题图②中阴影部分的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝1，在题图③中阴影部分的面积为(a＋b)2－a2－b2＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab＝12，∴a2＋b2＝13.
16. 5 【解析】(101)2＝1×22＋0×21＋1×20＝5.
代数式的概念
用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式
列代数式
找出问题中的数量关系及公式，用含有数字、字母和运算符号的式子表示
代数式求值
(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
(2)整体代入法(整体思想)：①观察已知条件和所求代数式的关系；
②将所求代数式变形后与已知代数式成倍数关系，一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式
单项式
概念：由数字与字母或字母的① 所组成的代数式叫做单项式.单独一个数字或字母也是单项式；
单项式的系数：单项式中的数字因数；
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和
多项式
概念：几个单项式的和叫做多项式；
多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，如2x＋x2y的次数是②
运算
文字表达
符号表示
同底数幂相乘
底数不变，指数相加
am·an＝am＋n(m，n都是正整数)
同底数幂相除
底数不变，指数相减
am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)
幂的乘方
底数不变，指数相乘
(am)n＝amn(m，n都是正整数)
积的乘方
积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
(ab)n＝anbn(n为正整数)
选项
逐项分析
正误
A
a2·a5＝a2＋5＝a7≠a10
✕
B
a8÷a2＝a8－2＝a6≠a4
✕
C
－2a＋5a＝3a≠7a
✕
D
(a2)5＝a2×5＝a10
√