2025年中考数学一轮总复习精讲精练 微专题05 一次方程(组)及其应用

这是一份2025年中考数学一轮总复习精讲精练 微专题05 一次方程(组)及其应用，共10页。试卷主要包含了 等式的基本性质， 一元一次方程及其解法， 二元一次方程组及其解法， *三元一次组方程及其解法， 一次方程的实际应用等内容，欢迎下载使用。
构建知识体系
考点梳理
1. 等式的基本性质
(1)性质1：同加减：等式两边加(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等，即如果 a＝b，那么 a±c ＝① 解方程中的移项
(2)性质2：同乘除：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即如果a＝b，那么② ＝bc解方程中的去分母；如果a＝b(c≠0)，那么③ ＝bc 解方程中的系数化为1
2. 一元一次方程及其解法
(1)一元一次方程：两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程
(2)解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
3. 二元一次方程组及其解法(6年2考)
(1)基本思想：二元一次方程组一元一次方程
(2)解法：①代入消元法：当方程组中某个方程中的未知数的系数是1或－1时，选用此方法较简单；
②加减消元法：当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用此方法较简单
4. *三元一次组方程及其解法
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，这与解二元一次方程组的思路相同
5. 一次方程(组)的实际应用(6年2考)
(1)利润问题：售价＝标价×折扣；销售额＝④ ×销量；利润＝⑤ －成本；利润率＝利润成本×100％
(2)行程问题：①基本量间的关系：⑥ ＝速度×时间；
②相遇问题：总路程＝甲走的路程⑦ 乙走的路程；
③追及问题：同地不同时出发：前者走的路程⑧ 追者走的路程；
同时不同地出发：前者走的路程＋两地间的距离⑨ 追者走的路程
(3)列方程(组)解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答
练考点
1. 下列判断正确的是( )
A. 若a＝b，则a－2＝b＋2
B. 若a2＝b3，则2a＝3b
C. 若a＝b，则a2＝b2
D. 若ac＝bc，则a＝b
2. 解方程：2(x－1)－3＝x.
3. 解方程组x＋y=42x－y=5.
4. 若共有x名学生，分成y个学习小组.若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人.若求冬令营学生的人数，所列的方程组为 .
高频考点
考点1 解一次方程(组)(6年2考)
例1 (人教七上例题改编)解方程：2x+12－x3＝1.
【答题模板】
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
例2 (北师七上习题改编)用下列方法解方程组5x＋y=33x－2y=7.
方法一(代入消元法)： 方法二(加减消元法)：
变式1 (人教七上习题改编)关于x的一元一次方程3x＋m＝7的解为x＝2，则m的值为( )
A. 1 B. －1 C. 6 D. －6
变式2 (2023朝阳改编)已知关于x，y的方程组5x＋y＝a，3x－2y=2a+1的解满足x－y＝3，则a的值为 .
考点2 一次方程(组)的实际应用(6年2考)
例3 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市在端午节前计划购进A，B两种品牌粽子进行销售.
(1)该超市采购员发现，2盒A品牌粽子和1盒B品牌粽子共需97元，1盒A品牌粽子和2盒B品牌粽子共需86元，求A，B两种品牌粽子每盒进价各为多少元？
该超市购进A，B两种品牌粽子若干盒进行销售，若A品牌粽子的售价比B品牌粽子的售价贵15元，且7盒A品牌粽子和10盒B品牌粽子售价相同，求A，B两种品牌粽子每盒售价各为多少元？
该超市按照(1)中的进价购进A，B两种品牌粽子共200盒，再按照(2)中的售价全部售出，共获利2 500元，求购进A，B两种品牌粽子各多少盒？
(4)端午节当天超市开展促销活动，A，B两种品牌粽子按(2)中的售价打相同的折扣销售，节日当天购买20盒A品牌粽子和20盒B品牌粽子一共只需1 360元，求A，B两种品牌粽子是按原价的几折销售？
真题及变式
命题点1 一次方程(组)及其解法(6年2考)
1. (2021广东11题4分)二元一次方程组x+2y＝－22x＋y=2的解为 .
2. [2020广东21(1)题4分]已知关于x，y的方程组ax+23y＝－103x＋y=4与x－y=2x＋by=15的解相同，求a，b的值.
命题点2 一次方程(组)的实际应用(6年2考)
3. (2022广东19题9分)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少？
拓展训练
4. (2024陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间.
新考法
第5题图
5. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”.观察图①，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系，即九宫图中每行、每列及对角线上的3个数之和都相等.同图①的规律，那么在图②中，mn＝ .
6. 如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成.
(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积.
第6题图
请完成分层作业本第8～9页
考点精讲
①b±c ②ac ③ac ④单价 ⑤销售收入
⑥路程 ⑦＋ ⑧＝ ⑨＝
练考点
1. C
2. 解：2x－2－3＝x，
2x－x＝2＋3，
x＝5.
3. 方法一：代入消元法
解：令x＋y=4①2x－y=5②，
由①得x＝4－y③，
将③代入②中，得2(4－y)－y＝5，
化简得8－3y＝5，
解得y＝1，
将y＝1代入③中，得x＝3，
∴方程组的解为x=3y=1.
一题多解法
方法二：加减消元法
解：令x＋y=4①2x－y=5②，
①＋②得3x＋y－y＝9，
解得x＝3，
将x＝3代入①中，解得y＝1，
∴方程组的解为x=3y=1.
4. 10y＝x+59y＝x－3
高频考点
例1 解：3(2x＋1)－2x＝6，6x＋3－2x＝6，6x－2x＝6－3，4x＝3，x＝34.
例2 解：方法一：
令5x＋y=3①3x－2y=7②，
由①得，y＝3－5x③，
将③代入②中，得3x－2(3－5x)＝7，
解得x＝1，
将x＝1代入③中，得y＝－2，
∴原方程组的解为x=1y＝－2；
方法二：
令5x＋y=3①3x－2y=7②，
①×2，得10x＋2y＝6③，
②＋③，得3x＋10x＝7＋6，
解得x＝1，
将x＝1代入①中，得5×1＋y＝3，
解得y＝－2，
∴原方程组的解为x=1y＝－2.
变式1 A 【解析】∵x＝2是关于x的一元一次方程3x＋m＝7的解，∴3×2＋m＝7，解得m＝1.
变式2 3 【解析】∵x－y＝3，∴y＝x－3.令5x＋y＝a①3x－2y=2a+1②，将y＝x－3分别代入①，②中，得6x－3=a③x+5=2a④，6×④－③，得12a－a＝30＋3，解得a＝3.
例3 解：(1)设A品牌粽子的进价为x元/盒，B品牌粽子的进价为y元/盒，
根据题意可得2x＋y=97x+2y=86，
解得x=36y=25，
答：A品牌粽子的进价为36元/盒，B品牌粽子的进价为25元/盒；
(2)设A品牌粽子的售价为a元/盒，B品牌粽子的售价为b元/盒，
根据题意可得a=15+b7a=10b，
解得a=50b=35，
答：A品牌粽子的售价为50元/盒，B品牌粽子的售价为35元/盒；
(3)设购进A品牌粽子m盒，则购进B品牌粽子(200－m)盒，
根据题意可得(50－36)m＋(35－25)(200－m)＝2 500，
解得m＝125，
∴200－125＝75，
答：购进A品牌粽子125盒，购进B品牌粽子75盒；
(4)设A，B两种品牌粽子按原价的n％销售，
根据题意可得20×(50＋35)×n％＝1 360，
解得n＝80，
答：A，B两种品牌粽子是按原价的八折销售.
真题及变式
1. x=2y＝－2 【解析】令x+2y＝－2①2x＋y=2②，①×2得2x＋4y＝－4③，③－②得3y＝－6，解得y＝－2，将y＝－2代入①中，得x＋2×(－2)＝－2，解得x＝2，∴方程组的解为x=2y＝－2.
2. 解：由题意得x＋y=4x－y=2，
解得x=3y=1.
把x=3y=1代入ax＋23y＝－103，
得3a＋23＝－103，
解得a＝－43，(2分)
把x=3y=1代入x＋by＝15，得3＋b＝15，
解得b＝12.(4分)
3. 解：设学生人数有x人，该书单价为y元，
由题意可得8x－3=y7x+4=y，(4分)
解得x=7y=53，
答：学生人数有7人，该书单价为53元.(9分)
一题多解法
解：设学生人数有x人，
由题意得8x－3＝7x＋4，(3分)
解得x＝7，(5分)
则该书单价为8×7－3＝53(元)，(8分)
答：学生人数有7人，该书单价为53元.(9分)
4. 解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3－x)h，
根据题意，得14x＋12(3－x)＝1，
解得x＝2，
答：这次小峰打扫了2 h.
5. －1 【解析】∵九宫图中每行、每列及对角线上的3个数之和都相等，7－3+m＝－5+1+7n+1－3=－5+1+7，解得m＝－1n=5，∴mn＝(－1)5＝－1.
6. 解：(1)设一块长方形墙砖的长为x m，宽为y m.
依题意得x＋y=1.52x＝x+4y，
解得x=1.2y=0.3，
答：一块长方形墙砖的长为1.2 m，宽为0.3 m；
(2)电视背景墙的面积为2×1.2×1.5＝3.6(m2)，
答：电视背景墙的面积为3.6 m2.