2025年中考数学一轮总复习精讲精练 微专题06 分式方程及其应用

这是一份2025年中考数学一轮总复习精讲精练 微专题06 分式方程及其应用，共8页。试卷主要包含了 分式方程的有关概念， 分式方程的解法， 分式方程的实际应用，9)等内容，欢迎下载使用。
构建知识体系
考点梳理
1. 分式方程的有关概念
(1)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程
(2)增根：使分式方程的分母为零的根叫做增根
(3)产生增根的原因：分式方程本身隐含分母不为0的条件，将其化为整式方程后没有此条件限制了
2. 分式方程的解法(2024.9)
(1)解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程
(2)解法：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根
3. 分式方程的实际应用(6年3考)
(1)常见类型及关系式：
①行程问题：路程速度＝时间；
②工程问题：工作总量工作效率＝工作时间(当题干中没有给出具体的工作总量时，默认工作总量为1)；
③购买问题：总价单价＝数量；
④航行问题：顺水速度＝静水船速＋水流速度；逆水速度＝静水船速－水流速度
(2)一般步骤：
(3)双检验：①检验是否是分式方程的根；②检验是否符合实际问题
练考点
1. 下列方程中不是分式方程的是( )
A. x23－x＝0 B. 2x＝1
C. 23－x＝x D. 1y＋y＝2
2. 解下列方程：
(1)2x+1＝3x；
(2)32－x－1x－2＝1.
3. 小明在一家便利店买了若干瓶酸奶，结账时共计48元，收银员告诉他满50元打八折，于是小明又拿了一瓶相同的酸奶，共花费了44.8元.设该酸奶单价为x元/瓶，则可列方程为 .
高频考点
考点1 分式方程及其解法(2024.9)
例1 已知关于x的分式方程2－x2x+2＝mx1+x.
(1)若分式方程的解为x＝3，则m的值为 ；
(2)若m＝1，则该方程的解为 ；
(3)若分式方程有增根，则m的值为 ；
(4)若分式方程无解，则m的值为 .
易错警示
分式方程的增根与无解并非同一概念.
(1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根；
(2)分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0.
变式1 (2024遂宁)分式方程2x－1＝1－mx－1的解为正数，则m的取值范围( )
A. m＞－3 B. m＞－3且m≠－2 C. m＜3 D. m＜3且m≠－2
考点2 分式方程的实际应用(6年3考)
例2 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因.为传承优秀传统文化，某校园内掀起了传统文化学习的热潮.为满足同学们的学习热情，该校特派两名学生代表小伟和小聪去采购相关书籍.
(1)两人要去距离学校10 km的图书批发市场购买图书，因小伟有事耽搁，故小聪骑自行车先走，过了20 min后，小伟乘汽车出发，结果两人同时到达.已知汽车的平均速度是自行车平均速度的2倍，求小聪骑自行车的平均速度；
(2)两人决定购买《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4 800元购买《水浒传》连环画的套数是用3 600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，则每套《水浒传》连环画的价格为多少元？
(3)将书全部运回学校后，小伟和小聪开始整理所买书籍，小聪和小伟两人共同整理5 min后，因小聪有事退出，小伟需再单独整理7 min才能完成任务，若小聪单独整理所买书籍需要15 min，求小伟单独整理所买书籍需要多长时间？
真题及变式
命题点1 解分式方程(2024.9)
1. (2024广东9题3分·人教八上例题改编)方程2x－3＝3x的解是( )
A. x＝－3 B. x＝－9 C. x＝3 D. x＝9
命题点2 分式方程的实际应用(6年3考)
(2023广东17题7分·人教八上习题改编)某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12 km.甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度.
变式
2.1 变情景——将同向出发变为相向出发
A，B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米.已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度.
拓展训练
(2024绥化改编)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的流速为多少？
新考法
4. [跨物理学科](人教八上例题改编)照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f＝1u＋1v(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u＝( )
A. ff－v B. f－vfv C. fvv－f D. v－ffv
5. [新定义运算](北师八下复习题改编)对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝1a－b2，这里等式右边是实数运算.例如：1⊗3＝11－32＝－18.则方程x⊗(－2)＝2x－4－1的解是( )
A. x＝7 B. x＝6 C. x＝5 D. x＝4
6. [与数轴结合](人教八上习题改编)在数轴上，点A表示的数为1x，王老师让同学们在数轴上再标出一点 B.点B表示数x+83x，且AB比OA大2.若点A与点B的位置如图所示，求x的值.
第6题图
练考点
1. A
2. 解：(1)方程两边同乘x(x＋1)，得2x＝3(x＋1)，
去括号，得2x＝3x＋3，
系数化为1，得x＝－3，
检验：当x＝－3时，x(x＋1)≠0，
∴x＝－3是原分式方程的解；
(2)方程两边同乘(x－2)，得－3－1＝x－2，
移项，合并同类项，得x＝－2，
检验：当x＝－2时，x－2≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解.
3. －48x＝1
高频考点
例1 解：(1)－16 (2)x＝23
(3)－32 【解析】去分母得，2－x＝2mx，移项，合并同类项，得(2m＋1)x＝2，系数化为1，得x＝22m+1.∵分式方程有增根，∴2m+1≠022m+1＝－1，解得m＝－32.
(4)－12或－32 【解析】由(3)得分式方程的解为x＝22m+1.∵分式方程无解，∴分两种情况，当整式方程无解时，即2m＋1＝0，解得m＝－12，当整式方程有解，分式方程无解时，即2m+1≠022m+1＝－1，解得m＝－32，∴m的值为－12或－32.
变式1 B 【解析】方程两边同时乘以x－1得，2＝x－1－m，解得x＝m＋3，∵分式方程2x－1＝1－mx－1的解为正数，∴m＋3＞0，∴m＞－3，∵x≠1，即m＋3≠1，∴m≠－2，∴m的取值范围为m＞－3且m≠－2.
例2 解：(1)设小聪骑自行车的平均速度为x km/h，则汽车的平均速度为2x km/h，
由题意得10x－102x＝13，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意，
答：小聪骑自行车的平均速度为15 km/h；
(2)设每套《水浒传》连环画的价格为x元，则每套《三国演义》连环画的价格为(x＋60)元，
由题意得4 800x＝2×3 600x+60，
解得x＝120，
经检验，x＝120是原分式方程的解且符合题意，
答：每套《水浒传》连环画的价格为120元；
(3)设小伟单独整理所买书籍需要x min，
由题意得(115＋1x)×5＋7×1x＝1，
解得x＝18，
经检验，x＝18是原分式方程的解且符合题意，
答：小伟单独整理所买书籍需要18 min.
真题及变式
1. D 【解析】2x－3＝3x，2x＝3(x－3)，解得x＝9，检验：当x＝9时，x(x－3)≠0，∴x＝9是原分式方程的解.
2. 解：设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h，
由题意得12x－121.2x＝1060，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合实际，
答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h.
变式2.1 解：设甲车的速度是x千米/时，乙车的速度为(x＋30)千米/时，
由题意，得80x＝200－80x+30，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合实际，
∴x＋30＝90.
答：甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时.
3. 解：设江水的流速为x km/h，则沿江顺流航行的速度为(40＋x) km/h，沿江逆流航行的速度为(40－x) km/h，
根据题意得12040+x＝8040－x，
解得x＝8，
经检验，x＝8是原分式方程的解，且符合题意.
答：江水的流速为8 km/h.
4. C 【解析】∵1f＝1u＋1v，∴1u＝1f－1v，∴1u＝v－ffv，∴u＝fvv－f .
5. C 【解析】已知等式整理，得1x－4＝2x－4－1，去分母得1＝2－x＋4，解得x＝5，经检验x＝5是分式方程的解.
6. 解：根据题意，得x+83x－1x－1x＝2，
解得x＝25，
经检验，x＝25是原分式方程的解.
∴x的值为25.