2025年中考数学一轮总复习精讲精练 微专题12 反比例函数与一次函数、几何结合

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方法解读
求几何图形面积：通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，最后利用面积公式求解.
常见求三角形面积的示例如下：
①S△AOB＝12OB·AD；
②S△ADB＝S△ACD＋S△BDC；
③S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝S△ADO＋S△BDO.
例1 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1(k1≠0)的图象与反比例函数y＝k2x(k2≠0)的图象分别交于点A(－1，－2)，B(32，n).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)如图①，点C是反比例函数图象上一动点，过点C作y轴的垂线，交y轴于点D，交一次函数图象于点E，当点C恰好是DE的中点时，求点C的坐标；
例1题图①
(3)核心设问 如图②，连接OA，OB，求△AOB的面积；[2019广东23(2)题考查]
例1题图②
(4)核心设问 如图③，点M是一次函数图象上一动点，当AM＝3BM时，求点M的坐标.[2021广东21(2)题考查]
例1题图③
考点2 反比例函数与几何结合(6年2考)
方法解读
一、坐标法
由y＝kx得到xy＝k，如：点A(xA，yA)，B(xB，yB)在反比例函数y＝kx的图象上，则xA·yA＝xB·yB＝k①，即反比例函数图象上的点的横、纵坐标积相等，都等于k；①式变形为xAxB＝yByA②，即反比例函数图象上两点横坐标的比值与纵坐标的比值互为倒数.
二、面积法
面积法的本质即利用“k”的几何意义，由xy＝k可以得到；反比例函数图象上的点向x，y轴作垂线，得到的矩形面积都相等，均为｜k｜；进而得到下图中：S△AOB＝S△COD＝12｜k｜.
例2 (北师九上习题改编)如图，已知双曲线y＝kx(x＞0)经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，DE⊥OA于点E，连接OC，若△OBC的面积为3，则k等于 .
例2题图
例3 (2024东莞一模改编)如图，点A是反比例函数y＝6x(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝－3x(x＜0)的图象于点B，以AB为边作菱形ABCD，其中C，D在x轴上，则菱形ABCD的面积为 .
例3题图
例4 (人教九上习题改编)如图，△ABC的边AB在x轴上，边AC交y轴于点E，AE∶EC＝1∶2，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象过点C，且交线段BC于点D，BD∶DC＝1∶3，连接AD，若S△ABD＝114，则k的值为 .
例4题图
真题及变式
命题点1 反比例函数与一次函数结合(6年3考)
1. (2021广东21题8分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝4x图象的一个交点为P(1，m).
(1)求m的值；
(2)若PA＝2AB，求k的值.
2. (2019广东23题9分)如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝k2x的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，n).
(1)根据图象，直接写出满足k1x＋b＞k2x的x的取值范围；
(2)求这两个函数的表达式；
(3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标.
第2题图
命题点2 反比例函数与几何结合(6年2考)
3. (2020广东24题10分)如图，点B是反比例函数y＝8x(x＞0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A， C.反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E.连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG.
(1)填空：k＝ ；
(2)求△BDF的面积；
(3)求证：四边形BDFG为平行四边形.
第3题图
高频考点
例1 解：(1)将点A(－1，－2)代入y＝k2x(k2≠0)中，得k2－1＝－2，
解得k2＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝2x，
将点B(32，n)代入y＝2x中，得n＝43，
∴点B(32，43)，
将点A(－1，－2)，B(32，43)分别代入y＝k1x＋b1(k1≠0)中，
得－k1＋b1＝－232k1＋b1＝43，
解得k1＝43b1＝－23，
∴一次函数的解析式为y＝43x－23；
(2)设点C的坐标为(x，2x)，
∵点C是DE的中点，
∴点E的坐标为(2x，2x)，
将点E(2x，2x)代入y＝43x－23中，
得43·2x－23＝2x，
整理得4x2－x－3＝0，
解得x＝1或x＝－34，
当x＝1时，y＝21＝2，点C的坐标为(1，2)，
当x＝－34时，y＝2－34＝－83，点C的坐标为(－34，－83).
综上所述，点C的坐标为(1，2)或(－34，－83)；
(3)由(1)可知点A(－1，－2)，点B(32，43)，
在一次函数y＝43x－23中，令y＝0，得x＝12，
∴S△AOB＝12×12×(43＋2)＝56；
(4)设点M(a，b)，当点M在AB的延长线上时，
∵AM＝3BM，∴AB＝23AM，
如解图①，过点M作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两线相交于点P，过点B作BQ⊥AP于点Q，则BQ∥MP，
∴△ABQ∽△AMP，
∴AQAP＝BQMP＝ABAM＝23，
∴32+1a+1＝43+2b+2＝23，
解得a＝114，b＝3，
∴点M的坐标为(114，3)；
当点M在线段AB上时，
∵AM＝3BM，∴AB＝43AM，
如解图②，过点M作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两线相交于点P，过点B作BQ⊥AP交AP的延长线于点Q，则BQ∥MP，
∴△ABQ∽△AMP，
∴AQAP＝BQMP＝ABAM＝43，
∴32+1a+1＝43+2b+2＝43，
解得a＝78，b＝12，
∴点M的坐标为(78，12).
综上所述，点M的坐标为(114，3)或(78，12).
图①
图②
例1题解图
例2 2 【解析】∵DE⊥OA，BA⊥OA，∴DE∥AB，∵D是OB中点，∴OE＝12OA，DE＝12AB，∴xCxD＝OAOE＝2，又∵点C，D都在y＝kx上，∴xCxD＝yDyC＝2，即DE＝2AC，∴AB＝4AC，∴BC＝3AC，∴S△OBC＝12BC·OA＝12·3AC·OA＝32k＝3，∴k＝2.
一题多解法
∵点C，D都在y＝kx上，∴S△ODE＝S△OCA＝k2，由题意得△ODE∽△OBA，且相似比DEAB＝12，∴S△ODES△OBA＝14，∴S△OBA＝4S△ODE＝2k，又∵S△OBA＝S△OBC＋S△OCA＝3＋12k，∴2k＝3＋12k，∴k＝2.
例3 9 【解析】设点B的纵坐标为b，∴－3x＝b，解得x＝－3b，∵AB∥x轴，∴点A的纵坐标为b，∴b＝6x，解得x＝6b，∴AB＝6b－(－3b)＝9b，∴S菱形ABCD＝9b·b＝9.
例4 4 【解析】设A(－a，0)(a＞0)，∵AE∶EC＝1∶2，∴点C(2a，k2a)，∵BD∶DC＝1∶3，∴点D的纵坐标为k2a×14＝k8a，∴点D的坐标为(8a，k8a)，∴B(10a，0)，∴AB＝11a，∵BD∶DC＝1∶3，∴S△ABC＝4S△ABD＝4×114＝11，∴S△ABC＝12×11a×k2a＝11，解得k＝4.
真题及变式
1. 解：(1)∵P(1，m)为反比例函数y＝4x图象上一点，
∴当x＝1时，m＝41＝4；(2分)
(2)如解图，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
由(1)得P(1，4)，
∴PM＝4，PN＝1.
①当点B在y轴的正半轴时，
∵PA＝2AB，
∴A1B1PA1＝12，
易证△A1OB1∽△A1MP，
∴OB1MP＝A1B1A1P＝12，
∴OB1＝2，
∴B1(0，2)，
将P(1，4)，B1(0，2)分别代入y＝kx＋b中，
得k＋b=4b=2，解得k=2b=2；(5分)
②当点B在y轴的负半轴时，
∵PA＝2AB，
∴A2B2PB2＝13，
易证△B2A2O∽△B2PN，
∴OA2NP＝A2B2PB2＝13，
∴OA2＝13，
∴A2(13，0)，
将P(1，4)，A2(13，0)分别代入y＝kx＋b中，
得k＋b=413k＋b=0，解得k=6b＝－2.
综上所述，k的值为2或6.(8分)
第1题解图
2. 解：(1)x＜－1或0＜x＜4；(2分)
(2)∵点A(－1，4)在反比例函数y＝k2x的图象上，
∴4＝k2－1，(3分)
解得k2＝－4，
∴反比例函数的表达式为y＝－4x.(4分)
∵点B(4，n)在反比例函数y＝－4x的图象上，
∴n＝－44＝－1，
∴B(4，－1).
∵一次函数的图象过A，B两点，
∴－k1＋b=44k1＋b＝－1，(5分)
解得k1＝－1b=3，
∴一次函数的表达式为y＝－x＋3；(6分)
(3)如解图，连接OP，OA，OB，设一次函数y＝－x＋3与x轴交于点C，
第2题解图
∵当y＝0时，x＝3，
∴点C的坐标为(3，0).
∵S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，
∴S△AOB＝12×3×4＋12×3×1＝152.(7分)
∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2，
∴S△BOP＝23S△AOB＝23×152＝5.
∵点P在线段AB上，
∴设P的坐标为(m，－m＋3)，－1＜m＜4，
∵S△POB＝S△POC＋S△BOC，
∴S△BOP＝12×3×(－m＋3)＋12×3×1＝5，(8分)
解得m＝23，
∴－m＋3＝－23＋3＝73，
∴点P的坐标为(23，73).(9分)
3. (1)2；(2分)
【解法提示】如解图①，过点M分别向坐标轴作垂线，垂足为P，Q.由题意得S矩形ABCO＝8，S矩形PMQO＝｜k｜.∵M是OB的中点，∴S矩形PMQO＝14S矩形ABCO＝14×8＝2，即k＝2 .
第3题解图①
(2)解：如解图②，连接OD，
∴S△BDF＝S△BDO＝S△BAO－S△DAO＝12S矩形ABCO－S△DAO＝12×8－｜k｜2＝4－1＝3；(6分)
第3题解图②
(3)证明：如解图③，过点D作DH⊥OG于点H.
设B(m，8m)，则C(m，0)，G(2m，0)，D(m4，8m)，E(m，2m)，H(m4，0)，
∴DB＝m－m4＝3m4，
易得△DHF∽△EBD，(8分)
∴DHEB＝HFBD，
∴HF＝DH·DBEB＝8m×3m48m－2m＝m，
∵FG＝OG－OH－FH＝2m－m4－m＝3m4，
∴FG＝DB，(9分)
由题意可得FG∥DB，
∴四边形BDFG为平行四边形.(10分)
第3题解图③