北京市大兴区2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题（原卷及解析版）

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1.本试卷共4页，共两部分，21道小题.满分150分.考试时间120分钟.
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称､班级､姓名和准考证号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 椭圆的长轴长为（）
A. 4B. 5C. 6D. 9
2. 双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
3. 若直线方向向量为，平面的法向量为，且，则（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 两条平行直线与间的距离等于（）
A. B. 1C. D. 2
5. 过点且被圆截得弦长最大的直线方程为（）
A. B.
C. D.
6. 圆与圆的位置关系是（）
A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切
7. 采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
907 966 181 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（）
A. B. C. D.
8. 若方程表示双曲线，则实数取值范围为（）
A. B.
CD.
9. 已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（）
A. B. C. D.
10. 平面内与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论不正确的是（）
A曲线关于原点对称
B. 满足的点有且只有一个
C.
D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 如果事件A与事件B互斥，且，，则＝．
12. 经过原点且与直线垂直的直线方程为__________.
13. 已知双曲线是等轴双曲线，则的右焦点坐标为__________；的焦点到其渐近线的距离是__________.
14. 探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则________，光线从点到经过的总路程为________．
15. 画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.给出下列四个结论：
①的蒙日圆的方程为；
②在直线上存在点，椭圆上存在，使得；
③记点到直线的距离为，则的最小值为；
④若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为.
其中所有正确结论的序号为__________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知两直线：和：，
（1）若与交于点，求的值；
（2）若，试确定需要满足的条件．
17. 已知椭圆与经过左焦点的一条直线交于两点.
（1）若为右焦点，求的周长；
（2）若直线的倾斜角为，求线段的长.
18. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上.
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.
19. 如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，.
（1）证明：；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
20. 已知抛物线，过的焦点且垂直于轴的直线交于不同的两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的直线与相交于不同的两点为线段的中点，是坐标原点，且与的面积之比为，求直线的方程.
21. 已知椭圆的上､下顶点为，左､右焦点为，四边形是面积为2的正方形.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上异于的点，判断直线和直线的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由；
（3）已知圆的切线与椭圆相交于两点，判断以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.