12_安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份12_安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一数学试卷（人教版）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将集合化简，再由并集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，令，解得，
则，且，
则.
故选：A
2. （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式求出答案.
【详解】.
故选：C
3. “角是第三象限角”是“”的（）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.
【详解】当角是第三象限角时，
，，
于是，
所以充分性成立；
当，即时，
角第二或第三象限角，
所以必要性不成立，
故选：A．
4. 已知，，则xy的最大值为（）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，得，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】由，得，得，即，
因为，所以，当且仅当，时，等号成立，
所以，即xy的最大值为.
故选：A
5. 已知，，，则，，的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合指数函数以及对数函数的单调性，即可求解.
【详解】因为函数在上单调递增，
则，即，
又，即，
所以.
故选：C
6. 函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的图象，利用“五点法”求解即可.
详解】由图知，，
，∴，
又，
，
∴函数的解析式为．
故选：D
7. 已知是奇函数，当x≥0时，（其中e为自然对数的底数），则（）
A. 3B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】由是奇函数得，又时，，
所以.
故选：D
8. 黎曼函数由德国著名数学家黎曼（Riemann）发现提出黎曼函数定义在上，其解析式为：当为真约数且时，当或上的无理数时，若函数是定义在R上的偶函数，且，，当时，，则：（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知可推得偶函数的周期为4，利用偶函数性质、周期性求目标函数值.
【详解】由题意，则，
所以偶函数的周期为4，
，
，
所以
故选：B
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 设，则下列结论中正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用诱导公式（一）到（六）依次转化角，逐步化简即得.
【详解】对于A项，，故A项正确；
对于B项，，故B项错误；
对于C项，，故C项正确；
对于D项，，故D项错误.
故选：AC.
10. 下列叙述正确的是（）
A. 若幂函数的图象经过点，则该函数在上单调递减
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 函数的单调递增区间为
D. 函数与函数互为反函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A,依题求出函数解析式，再判断即得；对于B，根据全称量词命题的否定要求即得；对于C，根据复合函数的单调性判断“同增异减”原则即可求得递增区间；对于D，按照互为反函数的两函数之间的关系分析即得.
【详解】对于A项，设依题意，，解得：，则因，故函数在上单调递减，即A项正确；
对于B项，否定量词和结论即得命题“，”的否定是“，”，即B项正确；
对于C项，设，由解得：或，因在定义域内为增函数，
且在上递减，在上递增，
根据同增异减原则知，函数的单调递增区间为，即C项错误；
对于D项，因的定义域为R，值域为，由可得：，
交换即得：，即，其定义域为，值域为R.即D项正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，则下列关于函数的图象与性质的叙述中，正确的有（）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在上单调递增
C. 函数的图象关于直线对称
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正切函数的性质画出图象，即可判断A、B、C的正误，由正切函数及诱导公式求判断D.
【详解】函数的大致图象，如下图示，
由上图象，易知：最小正周期为、上单调递增、图象关于直线对称，故A，B，C正确，
又，
所以，故D错误．
故选：ABC.
12. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）
A.
B.
C. 不等式的解集为或
D. 的最小值为6
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分析可得a的正负，即可判断A的正误；根据二次函数性质，可判断B的正误；根据根与系数的关系，可得且，代入所求，化简计算，即可判断C的正误；将代入，根据基本不等式，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】A选项，依题可得函数开口向下与轴交点横坐标为2，3，故A错误；
B选项，依题可得时，函数值小于0，即，故B正确；
C选项，因为开口向下与轴交点横坐标为2，3，
所以，即，且，
所以不等式可化为，即，
解集为或，故C正确；
D选项，，
当且仅当时，即时取等，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题:（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. ________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用对数的运算性质和分数指数幂的运算性质计算即得.
【详解】.
故答案为：2.
14. 已知，，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用半角公式结合已知条件求解.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
故答案为：.
15. 如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可得．
【详解】，
由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是.则扇面（曲边四边形）的面积是.
故答案为：．
16. 已知函数有且仅有3个零点，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图像及零点的定义可得结果.
【详解】当时没有零点，所以依题意有且仅有3个零点，
又时，所以，即，
故；
当时有1个零点，所以依题意有且仅有2个零点，
所以，即，
故答案为：.
四、解答题：（本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）已知，求的值.
（2）已知角的终边过点，，，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）化简已知式，求得的值，将利用弦的齐次式化弦为切代入即得；
（2）由条件分别求出的值，再代入两角和的余弦公式计算即得.
【详解】（1）由可得：；
（2）角的终边过点，则．
由，可知：
则.
18. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；
（2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得.
【小问1详解】
因为，
令，解得，
则的单调递增区间是；
【小问2详解】
因为，
将的图象向右平移个单位长度，
可得．
因为，所以，
所以，则，
即在区间内的值域为．
19. 已知函数是定义在R上的奇函数，其图象经过点．
（1）求实数，的值并指出的单调性（不必证明）；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1），在上单调递减
（2）
【解析】
【分析】（1）根据R上奇函数的性质得，再由，列出方程组，求得，再利用函数的单调性定义证明函数单调性即得；
（2）观察易得，代入不等式，利用奇函数性质将其化成，最后利用函数单调性化为一元二次不等式，解之即得.，
【小问1详解】
是R上的奇函数，，即，又解得.
故，易得在R上单调递减，证明如下.
任取，由，
因，则，而，则，故在R上单调递减.
【小问2详解】
易得：，不等式可化为，
是R上的奇函数，
又在R上单调递减，，即，解得或
故原不等式的解集为.
20. 国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
.
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：）
【答案】（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车
【解析】
【分析】（1）由图可知，当函数取得最大值时，，此时时，取得最大值，即可求得.
（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，解不等式，两边取对数，即可求出..
【详解】（1）由图可知，当函数取得最大值时，.
此时.
当时，即时，函数取得最大值为，
故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，
（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，
由，得，
两边取自然对数得，
即，
∴，
故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.
【点睛】本题考查函数模型应用和分段函数，考查分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．
21. 已知函数且的图象过点.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在上的最大值；
（3）若，比较与的大小.
【答案】（1），定义域为；
（2）最大值是，
（3）．
【解析】
【分析】（1）由求得，由对数函数的定义得定义域；
（2）函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最大值；
（3）指数式改写为对数式，然后比较的大小，并由已知得出的范围，在此范围内由的单调性得大小关系．
【小问1详解】
由已知，，
，定义域为；
【小问2详解】
，
，，则，
所以，时取等号，
最大值为；
【小问3详解】
，，
，，
，，
所以，，则，，
∵，所以，，即，
，，
所以，，
∵在上是增函数，又在时是减函数，
∴在上是减函数，
∴．
22. 已知函数.
（1）若为偶函数，求函数的定义域；
（2）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先得出的值，然后解出的解，即为函数的定义域；
（2）先求出的最小值，然后分类讨论求出的最大值，进而得出的取值范围.
【小问1详解】
因为为偶函数，
所以,即，
因为，所以，
解得：，，
所以，，
所以的定义域为.
【小问2详解】
因为过点，所以，
因为，所以，
所以，
因，所以，
所以 ，
又因为对任意的，，都有成立，
所以，，
，
因为，所以，
设，
则有图象开口向下，对称轴为的抛物线，
当 时，在 上单调递增，
所以，
所以，解得，所以；
当 时， 在上单调递减，
所以，所以，
解得，故；
当时，，
故，解得，所以，
综上所述：实数 a 取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据题意得，再利用换元法和二次函数的性质对进行分类讨论即可.