湖北省市级示范高中智学联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省市级示范高中智学联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数的共轭复数是( )
A.B.C.D.
2．已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
3．已知椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点构成正方形的四个顶点，则( )
A.1B.2C.3D.4
4．“”是“直线与直线平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5．如图，在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则( )
A.
B.
C.
D.
6．已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A、B两点，若，则双曲线E的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知圆，直线，若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则( )
A.B.C.D.
8．双曲线（，）的左、右焦点分别为,，P是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知圆，圆，则下列结论正确的是( )
A.若和外离，则或
B.若和外切，则
C.当时，和内含
D.当时，有且仅有一条直线与和均相切
10．已知曲线C的方程为，则( )
A.当时，曲线C为圆
B.当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
C.当时，曲线C可能为焦点在x轴上的椭圆
D.当时，曲线C为双曲线，其焦距为
11．已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则( )
A.当P为底面的中心时，
B.当时，长度的最小值为
C.当时，长度的最大值为6
D.当时，为定值
三、填空题
12．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是____.
13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为____.
14．已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形面积的最大值为____.
四、解答题
15．已知顶点、、.
(1)求边的垂直平分线的方程；
(2)若直线过点B，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.
16．大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.设各局比赛相互之间没有影响且无平局.
(1)求恰好比赛三局，比赛结束的概率；
(2)求甲校以3:1获胜的概率.
17．在中，，，，D，E分别是，上的点，满足且D点是边靠近C点的三等分点，将沿折起到的位置，使，M是的中点，如图所示：
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值.
18．在平面直角坐标系中，已知圆C经过原点和点，并且圆心在x轴上，圆C与x轴正半轴的交点为P.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设为圆C的动弦，且不经过点P，记、分别为弦、的斜率.
(ⅰ)若，求面积的最大值；
(ⅱ)若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
19．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点，且短轴的一个端点与焦点的连线与y轴所成角的正弦值等于.
(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为2的直线l与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）；
(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：，共轭复数为：.
故选：C
2．答案：D
解析：直线斜率，
又因为直线倾斜角的范围是，所以直线倾斜角为.
故选：D
3．答案：B
解析：由椭圆，可得椭圆的焦点为，
因为椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点构成正方形，
所以椭圆的两个焦点在y轴上，
所以椭圆的焦点为，
所以，解得.
故选：B.
4．答案：C
解析：当时且，
解得，
当时，两条直线方程分别为：，，
此时，
故是的充要条件.
故选：C
5．答案：B
解析：记的中点为D，
由正四面体的性质可知，H为正的重心，
所以
所以
.
故选：B
6．答案：C
解析：焦点到渐近线
即的距离，
所以，
因为，即，
所以.
解得，即，
又因为双曲线中，
所以.
故选：C
7．答案：A
解析：直线l可化为，则直线l过定点，
点代入圆C中：，所以点A在圆C内，
当时，直线l被圆C截得的弦长最短，即，
当直线l过圆心C时，直线l被圆C截得的弦长最长，即，
所以.
故选：A
8．答案：A
解析：如图：由题可知，点P必落在第四象限，，
设，，，
由，求得，
因为，所以，
求得，即，，
由正弦定理可得：，
则由得，，
由得，
则，，，，
由双曲线定义可得：，，，
所以双曲线的方程为.
故选：A
9．答案：BD
解析：由题知，，，，.
对于A，若和外离，则，
解得或，故A错误；
对于B，若和外切，则，解得，故B正确；
对于C，当时，，
则和相交，故C错误；
对于D，当时，，则和内切，有且只有一条公切线，故D正确.
故选：BD.
10．答案：ABC
解析：对选项A，当时，
曲线C的方程为：，表示圆，故A正确.
对选项B，当时，曲线C的方程为：，表示双曲线，
渐近线方程为：，故B正确，
对选项C，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
则，解得，故C正确.
对选项D，当时，曲线C的方程为：，表示椭圆，故D错误.
故选：ABC
11．答案：ACD
解析：由题意可知：，，
，.
对于A，当P为底面的中心时，
则，
即，，，所以，故A正确；
对于BC，当时，可知点P在及内部，
设，点A到平面的距离为d，
由题意可知：为等边三角形，且，
可得，，，，
因为，即，解得，
所以长度的最小值为，故B错误；
若点P分别与B,D,A重合时，长度分别为6，6，3，
所以长度的最大值为6，故C正确；
对于D，若，
则
，
又因为，
则
，
所以为定值，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：
解析：设椭圆标准方程为：，
由已知且，解得，，
所以标准方程为：.
故答案为：
13．答案：
解析：由两边平方化简得：，①
因为，所以，
又，代入①得：，解得：，
所以在上的投影向量坐标为.
故答案为：.
14．答案：
解析：中，，
以中点O为原点，所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，
设，则，
即，
整理得，，即有，
所以.
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2)或
解析：(1)由、.可知中点为，
且，设边的垂直平分线的斜率为，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，
即；
(2)当直线过坐标原点时，其直线斜率，
此时直线方程为，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，
综上所述，直线的方程为或.
16．答案：(1);
(2)
解析：(1)恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：
甲校连胜3局，概率为；
乙校连胜3局，概率为.
故恰好比赛三局，比赛结束的概率.
(2)甲校以3:1获胜的情况如下：
①前两局男生排球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，
第四局比赛甲校胜，
概率为；
②前两局男生羽毛球比赛中甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，
第四局比赛甲校胜，
概率为.
故甲校以3:1获胜的概率.
17．答案：(1)证明见解析;
(2)
解析：(1)因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又，，平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，，，平面，
所以平面.
(2)由(1)，以为x轴，为y轴，为z轴，
建立空间直角坐标系.
由几何关系可知，，，，
故，，，
，，，
可得，，，
设平面的法向量为，
则，
不妨令，则，，可得.
设与平面所成角的大小为，
则有，
故，
即与平面所成角的余弦值为.
18．答案：(1)；
(2)(ⅰ)1；
(ⅱ)过定点.
解析：(1)设圆C的标准方程为，
由已知可得：，
解得：，，，
所以圆C的标准方程为.
(2)(ⅰ)由(1)知，因为，所以，
从而直线经过圆心，是直角三角形，且，
设，，则，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以.
(ⅱ)由已知得：直线的斜率必存在，
设直线的方程为，，，
由，消去y得：，
当时，，，（※）
又
，
即，
代入（※）得：，
即，解得：，或，
当时，此时直线的方程为，过定点（舍去），
当时，此时直线的方程为，过定点，
故当，动弦过定点.
19．答案：(1);
(2);
(3)
解析：(1)由已知可得，①，
由椭圆过点，得②，
由①②解得，，
于是，所以椭圆C的蒙日圆的方程为.
(2)由(1)知，椭圆C的方程为，设直线l的方程为，
由消去y并整理得，，
由，得，即，
则坐标原点O到直线的距离，
，
所以的面积.
（3）由(1)知，椭圆C的方程为，
椭圆C的蒙日圆方程为，
设，则，
设，，则，，
当切线的斜率存在时，设的方程为，
由消去y
得，
，
整理得，
即，
则，解得，
于是，即，
当切线的斜率不存在时，，
的方程为或，满足上式，
因此切线的方程为，
同理切线的方程为，
将代入切线，的方程，
有，，
从而直线的方程为，当时，
由消去y
并整理得：，
显然，
，
，，
则，
又点到直线的距离，
于是的面积，
设，则，，
令，，，
所以函数在上单调递增，，
当，即时，由对称性不妨令，直线，
由，解得，，，
，
所以面积的最小值为.