专题03 分式及其运算（7类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学高频题型归纳与训练（全国通用）

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►考向一 分式有意义的条件
1．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式有意义，则x需满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，解得，
故答案为：．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
解得且，
故答案为：且．
►考向二 分式为0的条件
3．（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是 ．
【答案】1
【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案．
【详解】∵分式的值为0，
∴x−1＝0，2x≠0
解得：x＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键．
►考向三 分式的值
4．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】B
【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案．
【详解】解：设，，，
∵矩形，
∴，，
∴，，，
∵，而，
∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；
故选：B．
5．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可；
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故选C
6．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴，
∴，
∴满足题意的x的值可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
考向一 分式的加减
7．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可．
【详解】解：原式
故选：A
8．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（ ）
A．xB．yC．D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
由题意得，对进行通分化简即可．
【详解】解：∵的结果为，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程：
解：①
②
③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析
【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键．
【详解】解：从第②步开始出现错误．
正确的解题过程为：
原式．
10．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下：
(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
【答案】(1)③
(2)见解析
【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底；
（2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底，
应为：；
（2）解：
当时，原式
11．（2024·四川广安·中考真题）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值．
【答案】，时，原式，a=2时，原式.
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可.
【详解】解：
且
∴当时，原式；
当时，原式.
考向二 分式的混合运算
12．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为，，，进一步即可求出．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
……，
由上可得，每三个为一个循环，
，
．
故答案为：．
13．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
【答案】4
【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．
【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则，
，
中存在一点，有，解得，则，
抛物线“开口大小”为，
故答案为：．
考向三 分式的化简求值
14．（2024·四川·中考真题）化简：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟记运算法则和运算顺序是解决此题的关键．先将括号内的分式通分计算，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解．
【详解】解：
．
15．（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值．
【答案】，取，原式．
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
∵，，
∴，，
∴取，原式．
16．（2024·贵州·中考真题）（1）在①，②，③，④中任选3个代数式求和；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）见解析 （2），1
【分析】本题考查分式的化简求值和实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用实数的混合运算的法则和运算顺序解题即可；
（2）先把分式的分子、分母分解因式，然后约分化为最简分式，最后代入数值解题即可．
【详解】（1）解：选择①，②，③，
；
选择①，②，④，
；
选择①，③，④，
；
选择②，③，④，
；
（2）解：
；
当时，原式．
17．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．先将分式的分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法计算，再计算分式的加减得到，最后将化为，代入即得答案．
【详解】原式
，
，
原式．
考向四 零指数幂 负指数幂 分数指数幂
18．（2024·四川雅安·中考真题）计算的结果是（ ）
A．B．0C．1D．4
【答案】C
【分析】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键．
根据零指数幂的运算性质进行计算即可．
【详解】解：原式．
故选：C．
19．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可．
【详解】解：A、是正数，符合题意；
B、是负数，不符合题意；
C、是负数，不符合题意；
D、是负数，不符合题意；
故选：A．
20．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
21．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案．
【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为，
时，，
，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为，
．
故答案为：．
22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）求值：．
【答案】1
【分析】本题主要考查了实数运算．直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简即可得出答案．
【详解】解：
．
23．（2024·广东·中考真题）计算：．
【答案】2
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
24．（2024·上海·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．
【详解】解：
．
一、单选题
1．（2024·广西桂林·一模）下列代数式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且，那么式子叫做分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．据此判定各式子即可．
【详解】解：A、是单项式，不是分式，不符合题意；
B、是多项式，不是分式，不符合题意；
C、是分式，符合题意；
D、是多项式，不是分式，不符合题意，
故选：C．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，若，则的值在（ ）
A．第①段B．第②段C．第③段D．第④段
【答案】D
【分析】本题考查了分式的值．把代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．
【详解】解：
，
∵，
∴原式，
∵，
∴的值在落在段④，
故选：D．
3．（2024·安徽·三模）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的混合运算，先去括号，再通分，计算分式的减法运算即可．
【详解】解：
；
故选B
4．（2024·山西太原·二模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项，根据同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
5．（2024·河北邢台·模拟预测）化简，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
先计算乘方运算，在计算乘除运算即可得到结果．
【详解】
；
故选：D．
6．（2024·重庆·模拟预测）将分式中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（ ）
A．扩大10倍B．扩大100倍C．扩大100倍D．扩大1000倍
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把子母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
将原式中的分别用代替，化简后与原分式进行比较即可得到答案．
【详解】解：将分式中的的值同时扩大为原来的10倍，
则原式变为，
∴分式的值扩大1000倍，
故选：D．
7．（2024·河北秦皇岛·一模）若，则下列各式的值与P的值一定相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质针对四个选项进行分析即可．
【详解】A、不能再化简，故本选项不符合题意；
B、不能再化简，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ）
化简：
甲同学：原式；
乙同学：；
丙同学：；
丁同学．
A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．
【详解】解：
，
∴开始出现错误的同学是乙同学，
故选B．
9．（2024·河南南阳·模拟预测）若的运算结果为整式，则△代表的式子可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的混合运算，把四个选项中的式子代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
【详解】解：
．当△代表的式子为，原式是分式，故该选项不符合题意；
．当△代表的式子为，原式等于是分式，故该选项不符合题意；
．当△代表的式子为，原式是整式，故该选项符合题意；
．当△代表的式子为，原式是分式，故该选项不符合题意；
故选：C．
10．（2024·河北·模拟预测）化简的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的乘方．熟练掌握分式乘方的法则，幂乘方法则，是解决问题的关键．分式乘方等于分子分母分别乘方，幂乘方底数不变，指数相乘．
运用分式乘方的法则和幂乘方的法则逐一判定，即得．
【详解】A、，∴A不正确；
B、，∴B不正确；
C、，∴C不正确；
D、，∴D正确．
故选：D．
11．（2024·四川南充·三模）已知，，则的值是（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】B
【分析】此题考查分式的混合运算，根据题意得到，再代入所求代数式，进行分式的混合运算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
故选：B
二、填空题
12．（2024·湖北武汉·模拟预测）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加法运算，先通分再合并计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
13．（2024·吉林长春·一模）计算： ．
【答案】2023
【分析】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，然后计算加减．
【详解】解：
，
故答案为：2023．
14．（2024·湖北·模拟预测）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
15．（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键．
根据最简公分母的定义即可得出答案．
【详解】解：分式方程，各分母的最简公分母是，
故答案为：．
16．（2024·宁夏银川·三模）若，则分式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子分母因式分解，再约分化简，然后整体代值即可得出答案．
【详解】解：，
．
故答案为：．
17．（2024·湖南·模拟预测）当时，分式的值为0，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了分式值为零的知识，熟练掌握分式为零的特征是解题关键．若分式值为0，则有分母不为0，分子为0，据此即可获得答案．
【详解】解：当时，若分式的值为0，
则有，，
解得．
故答案为：3．
18．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可．
【详解】∵当时，分式无意义，
∴当时，，
代入得，解得，
故答案为：．
19．（2024·天津河北·模拟预测）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)．
【答案】
【分析】此题考查了分式的规律题，根据分式的除法法则逐项计算，得到规律即可．
【详解】解：根据题意得；
；
；
……
根据以上规律可得：．
20．（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个．
【答案】
【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可．
【详解】解：，
∵分式的值为整数，
∴的值为整数，
∴，
∵也是整数，
∴，
解得：；
∴能使分式值为整数的整数有个．
故答案为：．
21．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）已知，，计算 ．若的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】 16
【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值为整数，根据分式的混合运算法则求得，再根据的值为正整数，可得或2或3或6，即可求解．理解分式的值为整数时对分式的分子与分母的要求是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：
，
∵的值为正整数，为整数
∴或2或3或6，
∴符合题意的，3，4，7，
∴满足条件的所有整数a的和为，
故答案为：，16．
三、解答题
22．（2024·山西·模拟预测）（1）计算：．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务一：
填空：
①以上解题过程中，第一步是依据____________进行变形的；
②第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________．
任务二：
请直接写出该不等式的正确解集．
【答案】（1）；（2）任务一：①不等式的基本性质．②三；移项时，的符号没有改变．任务二：
【分析】（1）首先计算负整数指数幂，化简绝对值，计算特殊角的三角函数值，然后计算加减；
（2）任务一：①根据不等式的基本性质求解即可；
②根据移项的性质求解即可；
任务二：不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）
；
（2）任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质进行变形的；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时，的符号没有改变；
任务二：
．
【点睛】此题考查了负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式，解题的关键是掌握以上运算法则
23．（2024·湖南长沙·模拟预测）小明和小强一起做游戏，他们面前有大小相同的三张写着分式的卡片，要求组成，或的形式，再进行化简，然后两人均取一个相同的，代入计算分式的值．
A． B． C．
(1)小明发现其中有一个分式还可以进行约分，这个分式是______，约分的依据为______．
(2)请你帮他们在两个形式中选择一个进行化简求值．
【答案】(1)C，分式的分子和分母同除以同一个非零数时，这个分式的大小不会改变
(2)，
【分析】本题考查了约分以及分式混合运算，注意计算的准确性即可．
（1）C可进一步约分；
（2）利用分式的混合运算法则即可求解；
【详解】（1）解：∵
故答案为：C，分式的分子和分母同除以同一个非零数时，这个分式的大小不会改变
（2）解：

24．（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数：，，，…
(1)尝试：；__________；__________．
(2)归纳：__________．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【答案】(1)；
(2)
(3)见解析
【分析】此题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据题意代数求解即可；
（2）根据（1）的规律求解即可．
（3）首先根据分式的加减运算求出，，然后代入求解即可；
【详解】（1）；
；
（2）；
（3）
∴．
25．（2024·上海长宁·三模）计算： ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了分母有理化，实数的运算，负整数指数幂和分数指数幂，先计算分数指数幂，负整数指数幂和分母有理化，再去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
．
26．（2024·安徽合肥·三模）观察下列各式，并回答后面的问题．
第一个式子：；第二个式子：；第三个式子：；
第四个式子：；第五个式子：；⋯
(1)第六个式子为：______；
(2)求第个式子，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查分式运算的规律探索及运算，熟练找出第个式子和的关系是解题的关键．
（1）寻找规律，即可得出；
（2）先找出规律，再利用分式的运算法则证明即可．
【详解】（1）解：第六个式子为：；
（2）解：，
证明：
．
27．（2024·吉林长春·模拟预测）已知：，，求的值．
【答案】
【分析】本题考查的是整式的乘法与乘法公式的灵活应用，一元二次方程的解法，由结合可得，设，，进一步可得，求解的值，再进一步求解可得答案；
【详解】解：∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴
；
课标要求
考点
考向
了解分式和最简分式的概念。
能利用分式的基本性质进行约分和通分。
能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。
分式的概念及其性质
考向一 分式有意义的条件
考向二 分式为0的条件
考向三 分式的值
分式的运算
考向一 分式的加减
考向二 分式的混合运算
考向三 分式的化简求值
考向四 零指数幂 负指数幂 分数指数幂
考点一 分式的概念及其性质
考点二 分式的运算
解：…①
…②
…③
…④
…⑤
当时，原式．
．
解：，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
．第五步