专题08 不等式及不等式组（6类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学高频题型归纳与训练（全国通用）

这是一份专题08 不等式及不等式组（6类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学高频题型归纳与训练（全国通用），文件包含专题08不等式及不等式组原卷版docx、专题08不等式及不等式组解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。

►考向一 不等式的性质
1．（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；
B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；
C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；
D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，选项B错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，选项A错误，不符合题意；
∵，，
∴，，
∴，选项C正确，符合题意；
∵，，
∴，，
∴，选项D错误，不符合题意；
故选：C
3．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．
【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是( )
A．若，则
B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变
C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定，多边形的外角与内角和问题，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 若，且，则，故该选项不正确，不符合题意；
B. 设原价为元，则提价%后的售价为：元；
后又降价的售价为：元．
一件衣服降价后又提价，
这件衣服的价格相当于原价的，故该选项不正确，不符合题意；
C. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，相等的边不一定对应，故该选项不正确，不符合题意；
D.设这个多边形的边数为，
∴由题意得：，
，
，
即这个多边形的边数是6；故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
直接利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：，
A、，故错误，该选项不合题意；
B、，故错误，该选项不合题意；
C、无法得出，故错误，该选项不合题意；
D、，故正确，该选项符合题意；
故选：D．
6．（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断，，的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判，，的正负．
【详解】由数轴可得，，，，
、，原选项判断错误，不符合题意，
、，原选项判断正确，符合题意，
、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意，
、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意，
故选：．
►考向二 解一元一次不等式
考查角度1 求一元一次不等式的解集
7．（2024·陕西·中考真题）不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．
【详解】解：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
故选：D．
8．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴符合题意的是A
故选A．
9．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得．
【详解】解：，
，
，
．
解不等式得：，
∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大，
∴，
解得，
故答案为：；．
10．（2024·青海·中考真题）请你写出一个解集为的一元一次不等式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了不等式的解集．根据不等式的性质对不等式进行变形，得到的不等式就满足条件．
【详解】解：解集是的不等式：．
故答案为：（答案不唯一）．
11．（2024·广西·中考真题）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
故答案为：．
12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得．
【详解】解：根据题意可知，
解得：
有且只有一个正整数解
解不等式①，得：
解不等式②，得：
故答案为：．
考查角度2 在数轴上表示不等式的解集
13．（2024·贵州·中考真题）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据小于向左，无等号为空心圆圈，即可得出答案．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键．
【详解】不等式的解集在数轴上的表示如下：
．
故选：C．
14．（2017·吉林·中考真题）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵x+1≥2
∴x≥1
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
15．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可.
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
解得．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：

►考向三 一元一次不等式的应用
16．（2024·山东·中考真题）根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为；
②1班学生的最低身高小于；
③2班学生的最高身高大于或等于．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②．
【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，
根据1班班长的对话，得，，
∴
∴，
解得，
故①错误，③正确；
根据2班班长的对话，得，，
∴，
∴，
∴，
故②正确，
故选：C．
17．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球．
【答案】3
【分析】本题主要考查了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有个，则根据概率计算公式得到球的总数为个，则白球的数量为个，再由每种球的个数为正整数，列出不等式求解即可．
【详解】解：设袋子中绿球有个，
∵摸到绿球的概率是，
∴球的总数为个，
∴白球的数量为个，
∵每种球的个数为正整数，
∴，且x为正整数，
∴，且x为正整数，
∴x的最小值为1，
∴绿球的个数的最小值为3，
∴袋子中至少有3个绿球，
故答案为：3．
18．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
(1)求甲池的排水速度．
(2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？
【答案】(1)
(2)4小时
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可；
（2）设排水a小时，则，再解不等式即可．
【详解】（1）解：设甲池的排水速度为，
由题意得，，
解得：，
答：甲池的排水速度为；
（2）解：设排水a小时，
则，
解得：，
答：最多可以排4小时．
19．（2024·四川·中考真题）端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）：
(1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
(2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？
【答案】(1)；
(2)至少需要购进种粽子50盒．
【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据“总利润种粽子利润种粽子利润”，即可得出答案；
（2）根据题意列出不等关系式即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，
，
答：关于的函数解析式为；
（2）解：，
解得：，
故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，至少需要购进种粽子50盒．
►考向一 解一元一次不等式组
考查角度1 求一元一次不等式组的解集
20．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．
【详解】根据题意，可得，
A、此不等式组无解，符合题意；
B、此不等式组解集为，不符合题意；
C、此不等式组解集为，不符合题意；
D、此不等式组解集为，不符合题意；
故选：A
21．（2024·内蒙古包头·中考真题）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故选B．
22．（2024·吉林·中考真题）不等式组的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
23．（2024·山东·中考真题）写出满足不等式组的一个整数解 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的一个整数解为：；
故答案为：（答案不唯一）.
24．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得，
解方程，得，
关于的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，
解得且，是偶数，
且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：16．
考查角度2 在数轴上表示不等式组的解集
25．（2024·浙江·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
在数轴上表示如下：
．
故选：A．
26．（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．

【答案】/
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
►考向二 一元一次不等式组的应用
27．（2024·西藏·中考真题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如图：
．
28．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？
【答案】(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生
(2)至少种植甲作物5亩
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，
（1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可；
（2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，
根据题意，得，
解得，
答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生；
（2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，
根据题意，得：，
解得，
答：至少种植甲作物5亩．
1．（2024·浙江杭州·一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可以搬运货物x箱．根据“额定限载量为1000千克”列出不等式即可．
【详解】解：设每次搬x箱重物，根据题意得，，
故选：B．
2．（2024·湖南·三模）不同种类的药品的保存温度有区别．已知甲药品的保存温度为，乙药品的保存温度为．若将甲、乙两种可以共同存放的药品放在一起保存，则下列能符合要求的温度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了不等式的应用，解题的关键是读懂题意，搞懂甲药品冷库储藏温度和乙药品冷库储藏温度的要求．根据甲、乙两种药品的存放范围，得出甲、乙两种共同存放在一起的温度范围，即可得出答案，
【详解】解：∵甲药品的保存温度为，乙药品的保存温度为，
∴甲、乙两种共同存放在一起保存时的温度范围是：，
∴四个选项中，只有C选项符合要求．
故选：C．
3．（2024·广东·模拟预测）不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握不等式的解法．根据不等式的性质解不等式即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
4．（2024·山西·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得，
则不等式组的解集为．
故选：B．
5．（2024·山东济南·模拟预测）如图所示，点A和点B分别在数轴上原点的左侧和右侧，且点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：有题意可知：，且，
．，原结论错误，故该选项不符合题意；
．，原结论错误，故该选项不符合题意；
．，原结论错误，故该选项不符合题意；
．，原结论正确，故该选项符合题意；
故选：D．
6．（2024·辽宁·模拟预测）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．同位角相等D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握平行线的性质，等式和不等式的性质是解题的关键．根据平行线的性质，等式和不等式的性质依次判断各选项即可．
【详解】解：A、若，且，则，原命题是假命题；
B、若，则，或，原命题是假命题；
C、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
D、若，则，原命题是真命题；
故选：D．
7．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定的范围．
【详解】解：解不等式得x>2，
解不等式得，
∵解集是，
∴，
解得，
故选D．
二、填空题
8．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的函数，y的最大值为4，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值．通过转化得到，即，根据，推出，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，
即，
∴，即，
又∵，
∴，即，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
9．（2024·贵州·模拟预测）要使分式有意义，则的取值范围是 .
【答案】，且
【分析】本题考查分式有意义的条件、解不等式，平方根的定义，等知识，由分式有意义的条件得到，求解即可得到答案，熟记不等式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：要使分式有意义，
，解得，且，
故答案为：，且．
10．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知是中的一个数，则关于的方程有解的概率为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一元二次方程根据与系数的关系，求不等式的解集，概率的计算，掌握一元二次方程根与系数的关系和概率计算是解题的关键．
根据一元二次方程有解的判定方法“”可得的值，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：关于的方程有解，
∴，
解得，，
∴的值可以是或，两个值，
∴方程有解的概率为，
故答案为： ．
11．（2024·广西桂林·二模）若，则 ．（填“”或“”）
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变是解本题的关键．
利用不等式的基本性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．（2024·重庆·二模）对于一个四位正整数，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“优胜数”．则符合条件的A的最大数与最小数的差为 ，， ，若能被7整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为
【答案】 5154
【分析】此题考查了数字类规律题，整式加减的应用、不等式得应用等知识，根据题意求出当时，A的最大数为，当时，A的最小数为，即可求出符合条件的A的最大数与最小数的差，根据题意求出，则或或，进一步求出所有满足条件的四位正整数A，即可求出所有满足条件的四位正整数A的和．
【详解】解：∵四位正整数是“优胜数”．
∴，
∴，
∵
∴，，，
∴，，
可得到A为，
当时，A的最大数为，
当时，A的最小数为，
∴最大值与最小值的差为；
，
∵，，
∴，，
∴，，
∵能被7整除，
∴或，则或或，
当时，，不符合题意；
当时，
∴
当时，或1，
∴此时或
∴此时四位正整数A为3576或1578；
当时，或0（舍去）
∴此时，和b重复，应舍去，
当时，，和b重复，应舍去，或（舍去），
综上所述，所有满足条件的四位正整数A为3576或1578，
∴所有满足条件的四位正整数A的和为．
故答案为：，5154．
13．（2024·江苏常州·一模）小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板．三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于 千克．

【答案】25
【分析】此题重点考查一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
设小明的体重为，则小明妈妈的体重为，爸爸的体重为，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：设小明的体重为，则小明妈妈的体重为，爸爸的体重为．
因此小明的体重应小于25千克．
故答案为：25．
三、解答题
14．（2024·安徽·模拟预测）解不等式：．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的解法是解题关键．依次去分母、去括号、移项合并、系数化1，即可解不等式．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：．
15．（2024·湖南·模拟预测）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【答案】，图见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，然后取它们的公共部分得到不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得： ，
原不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示如下：
16．（2024·河南·模拟预测）某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球购买数量不少于50个，付款总额不得超过11200元，已知篮球和排球的厂家批发价分别是每个120元和每个100元，商场零售价分别是每个150元和每个120元．设该商场采购个篮球．
(1)求该商场的采购费用与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；
(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，求的值．
【答案】(1)；
(2)商场把这100个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为2600元；
(3)将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，m的值为3元．
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键．
（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可；
（2）设利润为W元，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可；
（3）设利润为W元，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，；
，解得：，
∴；
答：采购费用y与x的函数关系式为；
（2）解：设总利润为W，根据题意得：
∵，
∴W随x的最大的增大，
∴时，元，
答：商场把这100个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为2600元；
（3）解：由题意得：
，
①当时，即时，W随x的增大而增大，
又∵，
∴当时，，
即：，
解得：舍去，
②当时，即时，W随x的增大而减小，
又∵，
∴当时，，
即：，
解得：，
综上所述，将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，m的值为3元．
17．（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示．
【答案】，；数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意正确列出不等式组成为解题的关键．
设大器容x斛，小器容y斛，由题意得则，再根据可得，当，即时可得、，进而完成解答．
【详解】解：设大器容x斛，小器容y斛，由题意得:
,
可得：，即：，
∵
∴，
当，即时，，即，，
∴，；
小器容米数量范围的解集在数轴上表示如下 ：
．
18．（2024·全国·模拟预测）两个加工区A和B均从甲，乙两个公司购买原材料，两公司到A，B加工区的路程和每吨每千米的运费如表所示：
(1)现A加工区从甲，乙两公司购买原材料总计70吨，运费总额为1380元，则A加工区从甲，乙两公司购买原材料各多少吨？
(2)现甲，乙两个公司共有180吨原材料，恰好满足A，B两个加工区所需原材料的总和，其中甲公司有100吨，若A加工区需要70吨原材料不变，当A，B两个加工区从甲，乙两公司各购买多少吨原材料时，总运费最少？
【答案】(1)A 加工区从甲公司购进原材料20 吨，乙公司50吨
(2)当A加工区从甲公司购买70吨原材料，B加工区从甲，乙两公司各购买30吨和80吨原材料时，总运费最少
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用,一元一次不等式组的应用；
（1）设A加工区从甲公司购进原材料x吨，从乙公司购进原材料y吨，利用购买原材料总计70吨，运费总额为1380元，再建立方程组求解即可；
（2）设A加工区从甲公司购进原材料m吨．从乙公司购进 吨，则B加工区从甲公司购进吨，从乙公司购进吨．设总运费为，再建立函数关系式结合一次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设A加工区从甲公司购进原材料x吨，从乙公司购进原材料y吨，
依据题意列方程组，
解得
答：A 加工区从甲公司购进原材料20 吨，乙公司50吨；
（2）解：设A加工区从甲公司购进原材料m吨．
从乙公司购进 吨，
则B加工区从甲公司购进吨，
从乙公司购进吨．
设总运费为，依据题意得．
∵，
∴总运费随m的增大而减小．
∵，
∴，
则当时， 总运费最少，
即．
答：当A加工区从甲公司购买70吨原材料，B加工区从甲，乙两公司各购买30吨和80吨原材料时，总运费最少．
19．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式，将代入一次函数解方程即可得到答案；
（2）令函数，函数，求出，由题意得到，进而得到当包含时，满足题意，从而得到，解不等式得到或；再由也满足题意，即可得到答案．
【详解】（1）解：一次函数经过点，
，解得，
故一次函数的解析式为：；
（2）解：令函数，函数，
，
当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0，
，解得；且，解得；
，则，解得，
，
或；
当时，，即满足题意；
综上所述，的取值范围是或．
【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图象与性质、不等式与函数图象的关系，数形结合，灵活运用一次函数图象与性质是解决问题的关键．
20．（2024·山东·模拟预测）小明的作业如下：
解：
（第一步）
．（第二步）
(1)指出小明的作业是从哪一步开始出现错误的，请更正过来，并计算出正确结果；
(2)若，是不等式组的整数解（），求原分式的值．
【答案】(1)小明的作业是从第一步开始出现错误的，正确结果为；
(2)．
【分析】（）根据分式的混合运算顺序和运算法则可判断正误及结果；
（）先求出不等式组解集，再根据题意得出的值，然后代入计算即可；
本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）小明的作业是从第一步开始出现错误的，正确过程如下：
；
（2）由得x>0，
由得，
∴不等式组的解集为，
∴整数解为，，
∵，
∴，，
∴原式．
21．（2024·湖南·模拟预测）随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务．
(1)求两组员单单独完成此项任务各需多少天；
(2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？
【答案】(1)B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天
(2)组至少增加17人
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．
（1）设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据两组合作完成，需12天可完成此项任务，列出分式方程求解即可，注意检验；
（2）设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，完成该任务所需时间不能超过8天，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据题意得：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则（天）
答：B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天；
（2）解：设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据题意得：
，即，
解得：，
是正整数，
m最小可取17，
答：组至少增加17人．
22．（2024·安徽·模拟预测）公司有台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元．
(1)设租用甲种货车辆（为非负整数），试填写下表．
表一：
表二：
(2)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．
【答案】(1)表一：，，，；表二：，，，
(2)甲种货车辆，乙种货车辆
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程和不等式．
（1）根据计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，可以分别把表一和表二补充完整；
（2）由（1）中的数据和公司有台机器需要一次性运送到某地，列出不等式，求出，结合一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，
在表一中，当甲车辆时，运送的机器数量为：（台），
则乙车辆，运送的机器数量为：（台），
当甲车辆时，运送的机器数量为：（台），
则乙车辆，运送的机器数量为：（台），
在表二中，当租用甲货车辆时，租用甲种货车的费用为：（元），
则租用乙种货车辆，租用乙种货车的费用为：（元），
当租用甲货车辆时，租用甲种货车的费用为：（元），
则租用乙种货车辆，租用乙种货车的费用为：（元），
故答案为：表一：，，，；
表二：，，，．
（2）解：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车辆，乙车辆，
理由：当租用甲种货车辆时，设两种货车的总费用为元，
则两种货车的总费用为：，
又∵，
解得：，
∵，
∴在函数中，随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，
即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车辆，乙种货车辆．
23．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．

(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元
(2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用，
对于（1），先设设“天宫”模型进价为每个x元，可表示“神舟”模型进价，再根据200元购进的模型的个数之差为2列出分式方程，求出解并检验即可；
对于（2），先设购进“神舟”模型a个，表示购进“天宫”模型的个数，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值．
【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元，
依题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解.．
答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．
（2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个，
．
∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的．
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．
24．（2024·湖南·模拟预测）“电梯安全系万家，正确使用靠大家”．某小区的货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现需用此货运电梯装运一批设备，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，且体积较小．已知1个A部件和2个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等．
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克；
(2)由于设备需要成套装运，且每次装运都需要两名工人装卸，已知两名装卸工人的质量分别为和，问货运电梯一次最多可装运多少套设备?
【答案】(1)1个A部件的质量是30千克，1个B部件的质量是60千克
(2)货运电梯一次最多可装运套设备
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克，根据“1个A部件和2个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设货运电梯一次可装运m套设备，根据货运电梯的载重总质量禁止超过，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克，根据题意得：
，
解得，，
答：1个A部件的质量是30千克，1个B部件的质量是60千克；
（2）解：设货运电梯一次可装运m套设备，根据题意得：
解得：
又∵m为正整数，
∴m的最大值为7
课标要求
考点
考向
1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质;
2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集;
3.会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集;
4.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.
一元一次不等式
考向一 不等式的性质
考向二 解一元一次不等式
考向三 一元一次不等式的应用
一元一次不等式组
考向一 解一元一次不等式组
考向二 一元一次不等式组的应用
考点一 一元一次不等式
易错易混提醒
（1）在解一元一次不等式时，必须确保未知数的系数不为零。如果系数为零，那么不等式就不再是一元一次不等式。
（2）当不等式两边乘以（或除以）同一个整式时，必须确保这个整式不能为零。如果整式可能为零，则需要单独考虑这种情况。
种类
进价
标价
A
90
120
B
50
60
考点二 一元一次不等式组
路程(千米)
运费(元/吨·千米)
甲公司
乙公司
甲公司
乙公司
A加工区
20
15
1.2
1.2
B加工区
25
20
1
0.8
租用甲种货车的数量 / 辆
租用的甲种货车最多运送机器的数量 / 台
租用的乙种货车最多运送机器的数量 / 台
租用甲种货车的数量 / 辆
租用甲种货车的费用/ 元
租用乙种货车的费用 / 元