专题13 几何体的展开图（6类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学高频题型归纳与训练（全国通用）

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►考向一 几何体的展开图
1．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了立体图形的侧面展开图．熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关键．
由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形．
【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形．
故选：D．
2．（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】B
【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
共有2种方法，
故选：B．
3．（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．校B．安C．平D．园
【答案】A
【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答．
【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”，
故选：A．
4．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块．
【答案】 12 144
【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答．
【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，
的最小公倍数是6，
如图，
6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，
需图②的个数：（个）；
同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体，
用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，
此时需要：（个）．
故答案为：12；144．
5．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
(1)直接写出的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【答案】(1)2；
(2)C；
(3)见解析．
【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
上述图形折叠后变成：
由折叠和题意可知，，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴的值为：．
（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
（3）解：
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为：
∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则
（个），
∴所用卡纸总费用为：
（元）．
►考向二 点、线、面、体
6．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．
【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，
故选：C．
►考向一 直线、射线、线段
7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题．
【详解】解：过点有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
8．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．

【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
►考向一 角的运算
9．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数．
【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
由题意可得，
∴，
∴，
故选：D．
10．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了钟面角，用乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是，根据时针与分针相距的份数，可得答案．
【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是，
故选：C．
11．（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．
根据得到，再由平角即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算．
由平行线的性质可求出，又由三角板中，根据角的和差即可求出．
【详解】解：如图，∵

∴，
∵在三角板中，，
∴．
故选：B
考向二 角平分线
13．（2024·四川·中考真题）如图，，AD平分，，则（ ）

A．B．30°C．D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据、即可求解.
【详解】解：∵，，
∴
∵AD平分，
∴
故选：B
14．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若∠AOD=58，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵是的直径，∠AOD=58，
∴，，则，
∴，
故选：A．
考向3 余角和补角
15．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可．
本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】。
则的补角为．
故选：D．
16．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出，得出结合对顶角的性质，根据邻补角的定义得出，即可求出中与互补的角，即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴图中与互补的角有，，，共3个．
故选∶C．
17．（2024·甘肃兰州·中考真题）已知∠A＝80°，则∠A的补角是（ ）
A．100°B．80°C．40°D．10°
【答案】A
【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案．
【详解】解：∵∠A＝80°，
∴∠A补角为：180°﹣80°＝100°．
故选A．
【点睛】主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键．
一、单选题
1．（2024·贵州·模拟预测）如图所示的长方体的截面是（ ）
A．长方形B．正方形C．三角形D．三棱柱
【答案】C
【分析】本题考查几何体的截面图形．根据题中图示，可得图中的截面是三角形．
【详解】解：图中沿着长方体的三个顶点截图，其截面是一个三角形．
故选：C．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【答案】C
【分析】本题考查线段、直线、射线的概念和性质，直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度；射线：射线只能向一方无限延伸，无法度量长度；线段：线段不能向任何一方无限延伸，能度量长度．
【详解】A、线段不能向两边延伸，
∴与不会相交，故本选项错误；
B、射线向右上方方向延伸，
∴与不会相交，故本选项错误；
C、射线向左下方方向延伸，
∴与会相交，故本选项正确；
D、射线向右上方方向延伸，射线向左下方方向延伸，
∴与不会相交，故本选项错误；
故选：C．
3．（2024·湖南·模拟预测）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是( )
A．美B．丽C．中D．国
【答案】B
【分析】本题考查了正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的特点即可得出答案，解题的关键是掌握正方体展开图相对面的特征“隔一个或成Z字端”．
【详解】解：由图可知，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是“丽”，
故选：B．
4．（2024·广东·模拟预测）如图所示，正方形盒子的外表面画有3条粗黑线，将这个正方形盒子表面展开（外表面朝上），其展开图可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方体表面展开图，观察原正方体的3条粗黑线的特征，有两条交于一个顶角，第三条与前面两条粗黑线没相交，据此逐个选项分析，即可作答．
【详解】
解：观察，
∴其展开图可能是，
故选：D．
5．（2024·山西·模拟预测）如图，这是某几何体的展开图，则该几何体需要剪开的棱数为（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【答案】D
【分析】此题考查了三棱柱的展开图，掌握三棱柱的展开图是解题的关键．
首先得到这个几何体是三棱柱，然后根据三棱柱的棱数和展开图中没有剪开的棱数求解即可．
【详解】根据题意的，这个几何体是三棱柱
∵三棱柱共有9条棱，展开图中有4条棱没有剪开
∴该几何体需要剪开的棱数为（条）．
故选：D．
6．（2024·湖南·模拟预测）媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．公垂线段最短
【答案】C
【分析】本题考查了线段的性质，由两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短，
故选：C．
7．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，从它的上面看到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查从不同方向看几何体．解答本题的关键是掌握从上面看的观察位置．
画出从上向下看得到的平面图形，判断即可．
【详解】解：从上面看，得到的图形为：
故选：C．
8．（2024·上海·三模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形就是由七巧板拼成的．下面四个选项中，不正确的是（ ）

A．用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形
B．用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形
C．用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形
D．用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形
【答案】D
【分析】本题主要考查了七巧板拼图，正确理解题意画出示意图是解题的关键．
【详解】解：如图所示，用一副七巧板之中的三块或四块或五块都可以拼成正方形，但是六块不可以拼成正方形

故选：D．
9．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为18，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据平行四边的性质结合角平分线的定义得到，，进而得到，，由平行四边形的周长，即可求解．
【详解】解：∵、分别是、的平分线，
∴，．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
，
平行四边形的周长．
，
，
故选：C．
10．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有A、B、C、D四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ）
A．A、B、C三点在一条直线上
B．连接、，则是直角三角形
C．连接，
D．连接、，则
【答案】D
【分析】本题考查了直线、三角形的分类、平移的性质，垂直的定义，理解网格的特点，掌握相关知识点是解题关键．
【详解】解：A、连接并延长，点不在直线上，即A、B、C三点不在一条直线上，结论错误，不符合题意；
B、连接、，取格点，，而，即是钝角三角形，结论错误，不符合题意；
C、连接，将点向上平移三个单位，再将点向上平移三个单位，点不在直线上，即不平行，结论错误，不符合题意；
D、由网格可知，，结论正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题
11．（2024·广西·二模）从地到地有许多条路，一般地人们会从直路上通过，而不会走曲折的路，这是因为 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】此题主要考查了线段的性质，正确记忆线段的性质是解题关键．
根据线段的性质：两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：从地到地有多条道路，人们一般会选中间的直路，而不会走其它的曲折的路，
这是因为两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
12．（2024·山西·模拟预测）已知直线，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，，另一直角三角板一直角边与直线n重合，，若，则 ．
【答案】/15度
【分析】】把分别向两方延长交直线于点，交直线于点，先根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用平行线的性质可得，再利用平行线的性质可得，最后根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用三角形的外角性质进行计算即可解答．本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：把分别向两方延长交直线于点，交直线于点，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
是的一个外角，
，
故答案为：
13．（2024·全国·模拟预测）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了三角形的外角和角平分线的定义．通过三角形的外角得出的度数，再通过角平分线得出的度数．
【详解】解：，，，
，
是的角平分线，
，
，
故答案为：．
14．（2024·陕西·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】证出，，，共圆，为的内心，则，故当为该圆直径时，最大，即可得出答案．本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识；证明是解题的关键．
【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角
，，
，
，，，共圆，
，，
，
平分，
平分，
为的内心，
，
，，
，
，
当为该圆直径时，最大，
的最小值为，
故答案为：．
15．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意构造相似三角形，作，取，连接，，得到，进而得出，当三点共线时，的值最小，即的值最小，最后利用勾股定理即可解出．
【详解】作，取，连接，，如图所示，
在菱形中，
，
，
，
，
，
当三点共线时，的值最小，即的值最小，
在菱形中，，
，是等腰三角形，
，，
，
在中，，
，
故答案为：．
16．（2024·安徽·三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示 “企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为 ．
【答案】
【分析】该题主要考查了七巧板，勾股定理，等腰三角形的判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是理解图形．
根据题意对应上图1和图2中七巧板，过点E作交的延长线于点H，算出，，再根据勾股定理即可求解；
【详解】解：如图，图1和图2中七巧板对应如下，
∵正方形的边长为4，
∴，
过点E作交的延长线于点H，
则，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
17．（2024·陕西·模拟预测）将如图所示的直角三角形纸片以直角边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，若这个圆锥的体积与一个底面半径是的圆柱的体积相等，则这个圆柱的高是多少？（，）
【答案】
【分析】本题考查圆锥的体积公式，熟练运用圆锥的体积公式是解题的关键．根据题意可知，所得圆锥的底面半径是，设这个圆柱的高是，根据题意，得，即可求出圆柱的高．
【详解】解：由题意可知，所得圆锥的底面半径是，
高是，设这个圆柱的高是，根据题意，得，
解得，
这个圆柱的高是，
故答案为：．
18．（2024·福建·模拟预测）如图，已知，，AD与相交于点，则平分吗？说明理由．
【答案】平分，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．掌握全等三角形的判定和性质是关键．全等三角形的判定条件有四种：，，，．要说明平分，可证明或者．缺少边的条件，可通过证明获得．
【详解】解：平分．理由如下：
在和中，
∴（）
∴，
∴−−，即．
在和中，
∴（）
∴
在和中，
∴（）
∴，
∴平分．
19．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标；
(3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)存在，．
【分析】（1）用待定系数法解题；
（2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据平行四边形对边相等的性质，列出m的方程即可；
（3）证明点P在直线上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题．
【详解】（1）解：∵点，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
把点，，代入抛物线中得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图中，连接，，
∵，，，
，
∴，
∴直线的解析式为，设，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
把点的坐标代入，
得到，，解得或，
∴或．
（3）如图，过点作于，过点作于，过点作于，连接，
设，则，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是直线，
作点关于直线是对称点，连接交直线于，
连接，此时的值最小，
最小值．
【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
20．（2024·重庆·模拟预测）已知为等边三角形，，分别为线段，上一点，，与交于点．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，为射线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，若，证明：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，为线段上的动点，，随着的运动而运动，连接，当取得最大值时，直接写出的面．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）过点作，如图所示，由等边三角形性质及全等三角形判定与性质得到，设，则，由，解得，由等腰直角三角形及含的直角三角形性质，设，则，，列方程求解即可得到答案；
（2）延长交于，在上取，如图所示，根据等边三角形性质、三角形全等的判定与性质，通过构造的、、将线段转化到一条线上即可得证；
（3）将绕点逆时针旋转，得到，以为底边，向左作顶角为的等腰，延长到点，使，由，得到，由，得到，由，，得到，即：，在中，，此时，点，重合，，，得到，在中，求出的长，在中，求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：过点作，如图所示：
在等边中，，，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
解得，
在中，，，则，
，
，
在中，设，则，
由勾股定理可得，
，
，
解得，则；
（2）证明：延长交于，在上取，如图所示：
在等边三角形中，，，
在和中，
，
，
，
是的一个外角，
，
，，
，
将线段绕点逆时针旋转得，
，，
在和中，
，
，
，
由知，，则，
，
，即，
是的一个外角，
，
是的一个外角，
，
是等边三角形，则，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：将绕点逆时针旋转，得到，则，，以为底边，向左作顶角为的等腰，则，延长到点，使，则，连接，，，
，，，
，
，
，，，
，
又，，
，
，
，
，即：，
，
，
，即：，
在中，，即：，
当，，共线时取得最大值，
此时，点，重合，，即：，，
，
，
过点，作，交于点，
在中，，
在中，，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，顶角的等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理解三角形，两点之间线段最短，解题的关键是：连接辅助线，构造比例线段．
21．（2024·广东·模拟预测）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？
【分析问题】
如图，取点关于河岸线的对称点，连接，，当三点共线时，点为饮马的地方，，此时所走的路程就是最短的．
【解决问题】
（）当三点共线时路程最短的依据是 ；
【迁移应用】
（）如图，两个村庄在河岸CD 的同侧，两村到河岸CD的距离分别为千米，千米，(千米，现要在河岸上建一水厂，从处向铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少．
①请在河岸CD上作出水厂的位置，并写出作图过程；
②若铺设水管的工程费用为元/千米，求出铺设水管最节省的总费用．
【答案】（）两点之间线段最短；（）①作图见解析；②元．
【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，两点之间线段最短，掌握轴对称的性质是解题的关键．
（）根据两点之间线段最短即可求解；
（）①如图，延长到点，使，连接交CD于点，点即为所求；②过点作的延长线于点，则，千米，千米，即得千米，利用勾股定理求出，即得到最短路线的长度，进而即可求解；
【详解】解：（）当三点共线时路程最短的依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（）①如图，延长到点，使，连接交CD于点，点即为所求；
②过点作的延长线于点，则，千米，千米，
∴千米，
∴千米，
∴最短路线千米，
∴铺设水管最节省的总费用为元．
课标要求
考点
考向
1.了解几何体的基本概念、基本性质和分类。
2. 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；
3. 理解角的概念，能比较角的大小．认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差；
4. 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的补角相等的性质；识别同位角、内错角、同旁内角；
5. 理解垂线、垂线段的概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；
常见的几何体
考向一 几何体的展开图
考向二 点、线、面、体
直线、射线、线段
考向一 直线、射线、线段
角
考向一 角的运算
考向二 角平分线
考向三 余角和补角
考点一 常见的几何体
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元）
3
5
20
卡纸型号
型号
型号
型号
需卡纸的数量（单位：张）
1
3
2
所用卡纸总费用（单位：元）
58
考点二 直线、射线、线段
考点三 角
解题技巧/易错易混
1.识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．
2.互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个