福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题-A4

这是一份福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题-A4，共4页。试卷主要包含了若直线x+y﹣1＝0是圆，向量，，且，若，则实数的值为，下列命题正确的是，已知点A有公共点，则，点到直线l，已知直线l，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题人：高二集备组 审核人：高二集备组
考试时间：10月11日 完卷时间：120分钟， 满分：150分
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的。
1．若直线x+y﹣1＝0是圆（x﹣m）2+（y﹣1）2＝1的一条对称轴，则m＝（ ）
A．0B．1C．2D．4
2．“a＝1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x+y＝0互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．向量，，且，若，则实数的值为（ ）
A．B． C．或D．或
4．下列命题正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
B．若，则存在唯一的实数λ，使
C．若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为
D．若向量，的夹角为钝角，则实数t的取值范围为
5．已知正方体ABCD﹣EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到
直线AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点A（2，﹣3），B（﹣5，﹣2），若直线l：mx+y+m﹣1＝0与线段AB（含端点）有公共点，则
实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时l的直线方程分别为（ ）
A．；B．；
C．；D．；
8. 边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是30° B．过点与直线l平行的直线是
C．直线到直线l的距离为 D．若直线m：，则l⊥m
10．下列说法正确的是（ ）
A．在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面
B．若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则
C．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为1，且∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线
D．若向量，则称（m，n，k）为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），则向量在基底下的坐标为
11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1，，则下列说法中正确的是（ ）
A．长方体外接球的表面积等于7π
B．P是线段BD上的一动点，则PA+PB1的最小值等于3
C．点A1到平面点C1BD的距离等于
D．二面角A1﹣BD﹣A的正切值等于2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．两条直线2x+3y﹣k＝0和x﹣ky+12＝0的交点在y轴上，那么k的值是 ．
13． 已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为

已知P，Q分别在直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：x﹣y﹣1＝0上，且PQ⊥l1，点A（﹣4，6），
B（5，﹣1），则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知ΔABC的顶点为，，，求：
（1）边AC上的中线所在直线的方程；
（2）边AC上的高所在直线的方程；
（3）边AC的垂直平分线的方程.
16．(15分)如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
（1）求证：AB1⊥平面A1BD；
（2）求平面A1BD与平面A1DC1的夹角的余弦值．
17．（15分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a＝0（a∈R）．
（1）求证：不论a为何值，直线必过定点M；
（2）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值．
18.（17分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐
标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作．
（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，
∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①若，求向量的斜60°坐标；
②若，且，求．
19. （17）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广：刍，草也，甍，屋盖也”.翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱：刍甍为茅草屋顶”．现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍“，如图2．
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点；求证：AO∥平面GCF；
（2）若二面角A﹣EF﹣B的大小为π，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．