【预习链接】人教版(2019) 必修2 高中物理 高一寒假 第11讲 万有引 力理论的成就（原卷版+解析版）.zip

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万有引力定律的内容的考点：
1、预言彗星的回归，发现未知天体；
2、根据已知量计算出天体的质量；
3、计算中心天体的质量和密度；
4、已知近地表运行周期求密度；
5、已知地月/卫系统常识可以求出的物理量；
6、不同纬度的重力加速度；
7、其他星球表面的重力加速度；
8、在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度；
9、天体自转对自身结构及表面g的影响；
10、不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度。
知识点1：万有引力理论的成就
一、“称量”地球的质量
解决思路：若不考虑地球自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球对物体的引力。
解决方法：mg＝Geq \f(mm地,R2)。
得到的结论：m地＝eq \f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。
二、计算天体的质量
解决思路：质量为m的行星绕阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。
解决方法：eq \f(Gmm太,r2)＝meq \f(4π2,T2)r。
得到的结论：m太＝eq \f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量。
运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。以地
球质量，月球的已知量为例，介绍几种计算天体质量的方法。
三、天体密度的计算
四、发现未知天体
海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的
观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。这就是海王星。
其他天体的发现：海王星的轨道之外残存着太阳系形成初期遗留的物质，近100年来，人们发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
五、预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这三颗彗星是同一颗星，周期约为76年，并预言了这颗彗星再次回归的时间。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右。
六、一些重要的知识
1、解决天体(卫星)运动问题的基本思路
天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
；
在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg(g表示天体表面的重力加速度)；
若已知星球表面的重力加速度g′和星球的半径，忽略星球自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有，所以；
若已知环绕中心天体运动的行星(或卫星)绕恒星(或行星)做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力提供向心力可知：，得恒星或行星的质量。
解决天体质量和密度的估算问题的两点注意：
考点1：预言彗星的回归，发现未知天体
1．（2021下·陕西西安·高一校考阶段练习）关于行星运动的规律，下列说法符合史实和事实的是（ ）
A．天文学家第谷通过艰苦的观测，总结出行星运动三大定律
B．开普勒进行“月—地检验”，并总结出了天上、地上物体所受的引力遵从相同的规律
C．牛顿通过扭秤实验结合“理想模型”物理思想测得引力常量G
D．海王星是亚当斯和勒维耶各自独立研究推算出来的，后人称其为“笔尖下发现的行星”
【答案】D
【详解】A．天文学家开普勒通过艰苦的观测，总结出行星运动三大定律，故A错误；
B．牛顿进行“月—地检验”，并总结出了天上、地上物体所受的引力遵从相同的规律。故B错误；
C．卡文迪许通过扭秤实验测量出引力常量G，故C错误；
D．海王星是亚当斯和勒维耶各自独立研究推算出来的，后人称其为“笔尖下发现的行星” ，故D正确；
故选D。
考点2：根据已知量计算出天体的质量；
2．（2023下·广东汕尾·高一统考期末）已知地球的半径约为，地球表面的重力加速度约为，引力常量约为，则地球的质量约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设地球的质量为M，物体在地球表面的重力约等于万有引力，即
解得
故选C。
考点3：计算中心天体的质量和密度；
3．（2021·高一课时练习）我国“嫦娥二号”可视为在月球表面附近做圆周运动。已知引力常量，要测定月球的密度，仅仅需要（ ）
A．测定飞船的运行周期
B．测定飞船的环绕半径
C．测定月球的体积
D．测定飞船的运行速度
【答案】A
【详解】A．当测定飞船在月球表面附近的运行周期T时，设月球半径为R，飞船受到月球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律
可得月球的质量
则月球的密度
可见月球的密度可以测定，故A正确；
B．测定飞船的环绕半径，即已知月球的半径，但月球的质量未知，故无法求出月球的密度，故B错误；
C．测定月球的体积，但月球的质量未知，故无法求出月球的密度，故C错误；
D．测定飞船的速度，由飞船受到月球的万有引力提供向心力，有
可得月球的质量
月球的密度为
由于月球的半径未知，故无法求出月球的密度，故D错误。
故选A。
考点4：已知近地表运行周期求密度；
4．（2023下·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）若某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知引力常量为G，太阳光可看作平行光，则地球的平均密度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设地球质量为M，飞船运动半径为r，对飞船研究可知
解得
由几何关系可知
则地球密度
解得
故选C。
考点5：已知地月/卫系统常识可以求出的物理量；
5．（2021下·陕西西安·高一校考期中）2019年1月3日，“嫦娥四号”月球探测器成功登陆月球背面，人类首次实现了月球背面的软着陆。已知月球表面重力加速度g，月球半径R，引力常量G，则（ ）
A．月球的质量为
B．月球的第一宇宙速度为
C．近月卫星的角速度为
D．近月卫星的周期为
【答案】B
【详解】A．在月球表面有
解得
A错误；
B．月球的第一宇宙速度等于近月卫星的环绕速度，则有
结合上述解得
B正确；
C．对近月卫星有
结合上述解得
C错误；
D．近月卫星的周期
结合上述解得
D错误。
故选B。
考点6：不同纬度的重力加速度；
6．（2023下·辽宁大连·高一育明高中校考期中）设宇宙中有一自转角速度为，半径为R、质量分布均匀的小行星。在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块，在极点处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为；在赤道处弹簧测力计的示数为，此处重力加速度大小为，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】在极点处有
在赤道处有
根据万有引力和重力的关系有
解得
，
故选B。
考点7：其他星球表面的重力加速度；
7．（2023下·广东茂名·高一茂名市第一中学校考期末）天文学家发现遥远星空中的某颗半径为R绕通过两极的轴自转的行星两极处的重力加速度为g，而赤道处的重力加速度为两极处重力加速度的，则该行星自转的角速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对于该行星两极处的物体m，可得
对于赤道处的物体m′，可得
解得该行星自转的角速度为
故选B。
考点8：在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度；
8．（2022·广东深圳·统考一模）2021年10月16日神舟十三号飞船顺利将3名航天员送入太空，并与天和核心舱对接。已知核心舱绕地球运行近似为匀速圆周运动，离地面距离约为390km，地球半径约为6400km，地球表面的重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．核心舱的向心加速度小于g
B．核心舱运行速度大于7.9km/s
C．由题干条件可以求出地球的质量
D．考虑到稀薄大气的阻力，无动力补充，核心舱的速度会越来越小
【答案】A
【详解】A．核心舱所处的重力加速度为，根据万有引力定律和牛顿第二定律
而在地面处
由于核心舱做匀速圆周运动，核心舱在该处的万有引力提供向心力，重力加速度等于向心加速度，因此向心加速度小于g，A正确；
B．根据
可知轨道半径越大，运行速度越小，在地面处的运行速度为7.9km/s，因此在该高度处的运行速度小于7.9km/s，B错误；
C．根据
从题干信息无法知道G的值，因此无法求出地球的质量，C错误；
D．考虑到稀薄大气的阻力，无动力补充，核心舱逐渐做近心运动，轨道半径逐渐减小，运行速度会越来越大，D错误。
故选A。
考点9：天体自转对自身结构及表面g的影响；
9．（2023下·广东广州·高一校联考期中）2020年9月，我国明确提出2030年“碳达峰”与2060年“碳中和”目标。人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为。已知地球自转周期为。根据以上信息，可求出地球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力
北极熊在北极上时
根据题意，有
A正确，BCD错误。
故选A。
考点10：不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度。
10．（2021·全国·高三统考开学考试）卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，不仅用实验验证了万有引力定律的正确性，而且应用引力常量还可以测出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量，地面上的重力加速度，地球半径，则地球质量约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据公式
可得
故选D。
多选题
11．（2023下·高一课时练习）为了验证拉住月球使它围绕地球运动的力与拉着苹果下落的力是同一性质的力，同样遵从平方反比定律，牛顿进行了著名的“月—地检验”。已知月地之间的距离为60R（R为地球半径），月球围绕地球公转的周期为T，引力常量为G。则下列说法中错误的是（ ）
A．由题中信息可以计算出地球的密度为
B．由题中信息可以计算出月球绕地球公转的线速度大小为
C．月球绕地球公转的向心加速度是在地面附近重力加速度的
D．物体在月球轨道上受到的地球引力是其在地面附近受到的地球引力的
【答案】ABD
【详解】A．由万有引力提供向心力可得
地球的体积为
由题意知，月球的轨道半径r＝60R，地球的密度为
A错误；
B．由题中信息可以计算出月球绕地球公转的线速度大小为
B错误；
C．由黄金代换，有
可知，月球绕地球公转的向心加速度与轨道半径的平方成反比，有
C正确；
D．由万有引力公式
可知，物体在月球轨道上受到的地球引力是其在地面附近受到的地球引力的，D错误。
本题选择错误选项。
故选ABD。
12．（2023下·湖北·高一赤壁一中校联考期中）行星外围有一圈厚度为的发光带（发光的物质），简化为如图所示模型，为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观测，发现发光带绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离的倒数之间关系如图所示（图线斜率为已知量），则下列说法正确的是（ ）
A．发光带是该行星的组成部分B．该行星的质量
C．行星表面的重力加速度D．该行星的平均密度为
【答案】BC
【详解】A．若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有
与应成正比，与图像不符，因此发光带不是该行星的组成部分，故A错误；
B．设发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有
得该行星的质量为
又图像的斜率为
联立可得
故B正确；
C．当时，有
得行星表面的重力加速度为
故C正确；
D．该行星的平均密度为
故D错误。
故选BC。
13．（2023下·广东广州·高一统考期末）月球绕地球的运动可以近似看作匀速圆周运动，设月球绕地球运动的周期为T，月球中心到地心的距离为r，引力常量为G，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则（ ）
A．地球的质量为B．月球的质量为
C．月球表面的重力加速度为D．月球运动的加速度为
【答案】AD
【详解】A．根据
解得地球的质量为
故A正确；
B．根据万有引力提供向心力
可得地球的质量为
故B错误；
C．根据万有引力提供向心力
可得月球绕地球运动的加速度为
故C错误；
D．根据万有引力提供向心力
解得月球运动的加速度为
故D正确。
故选AD。
14．（2021下·甘肃金昌·高一金昌市金川高级中学校考期中）假设在半径为R的某天体发射一颗该天体的卫星，若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T，已知引力常量为G，该天体表面的重力加速度为g，不考虑天体自转的影响，下列关于该天体密度ρ正确的是（ ）
A．ρ= B．ρ= C．ρ=D．ρ=
【答案】AC
【详解】由题意可得
解得
则天体密度
或者
故选AC。
15．（2023·广东清远·校考模拟预测）如图所示，天问一号探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，周期为T。已知火星的半径为R，火星的第一宇宙速度为v1，引力常量为G，则（ ）

A．火星的质量为
B．火星的密度为
C．火星表面的重力加速度为
D．停泊轨道的半长轴为
【答案】BD
【详解】A．设火星的质量为M，天问一号的质量为m，当天问一号绕火星表面运行时，有
可得
A错误；
B．又因为
解得火星的密度
B正确；
C．根据牛顿第二定律得
火星表面的重力加速度
C错误；
D．设停泊轨道的半长轴为a，由开普勒第三定律有

又因为
解得
D正确。
故选BD。
16．（2021下·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是（ ）
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg
C．地球的半径为
D．地球的密度为
【答案】CD
【详解】A．质量为m的物体在地球北极受到的地球引力等于其重力，大小为mg0，A错误；
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于其在地球两极受到的万有引力，大小为mg0，B错误；
C．设地球半径为R，在地球赤道上随地球自转物体的质量为m，由牛顿第二定律可得
C正确；
D．设地球质量为M，地球半径为R，质量为m的物体在地球表面两极处受到的地球引力等于其重力，可得
又
则有
D正确。
故选CD。
解答题
17．（2023下·北京大兴·高一北京八十中统考期中）2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，距火星表面的高度为h，周期为。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星自转的影响。求：
（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；
（2）火星的质量M；
（3）火星表面的重力加速度的大小g。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据
可得
（2）根据万有引力充当向心力可知
解得

（3）根据
解得
18．（2022下·四川绵阳·高一统考期末）石墨烯是一种具有超轻超高强度的新型材料。有人设想：用石墨烯制作超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，利用超级缆绳承载太空电梯从地球基地向空间站运送物资。已知地球半径R，自转周期T，地球北极表面重力加速度，万有引力常量G。
（1）求地球的质量M；
（2）太空电梯停在距地3R的站点，求该站点处的重力加速度g的大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设质量为的物体北极地面静止，则
解得
（2）设货物质量为m，在距地面高3R站点受到的万有引力为F，则
货物绕地球做匀速圆周运动，设太空电梯对货物的支持力为N，则
解得
19．（2023下·广东佛山·高一罗定邦中学校考阶段练习）在2049年的某一天，一位航天员乘坐中国航天集团的飞行器，成功的降落火星上。他在离火星地面表面高h（h远小于火星的半径）处无初速释放一小球，认为小球在火星表面做初速度为零的匀加速直线运动，即火星上的自由落体运动，并测得小球落地时速度为v（不计阻力），已知引力常量为G，火星半径为R，他出了下列三个问题，请你利用学过的知识解答：
（1）求火星表面的重力加速度g；
（2）求火星的质量M；
（3）假设火星可视为质量均匀分布的球体，求火星的密度。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设火星表面的重力加速度为g，由题意根据运动学规律有
解得
（2）设火星的质量为M，则在火星表面一质量为m的物体所受的重力近似等于万有引力，即
联立解得
（3）火星的体积为
联立可得火星的密度为
解得
‍
已知量
求解方法
质量的求解公式
月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r
根据万有引力等于向心力，得
月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v
地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得

月球运行的线速度v和运行周期T
地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
和
两式消去r，解得：

地球的半径R和地球表面的重力加速度g
物体的重力近似等于地球对物体的引力，得

类型
分析方法
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
由于Geq \f(Mm,R2)＝mg，则天体质量M＝eq \f(gR2,G)，结合ρ＝eq \f(M,V)和V＝eq \f(4,3)πR3，可得天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)。
已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。
由于Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，则中心天体质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)，结合ρ＝eq \f(M,V)和V＝eq \f(4,3)πR3，可得天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)；若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)（只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度）。