重庆市永川中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
第I卷（选择题共58分）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若点关于平面和轴对称的点分别为，，则（ ）
A. B. C. 1D. 9
2. 已知圆与圆外切，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（ ）
A. 5B. 6C. 9D. 10
4. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（ ）
A 平行B. 垂直C. 异面垂直D. 异面不垂直
5. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点.若为直角三角形，，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
6. 已知等差数列满足，则（ ）
A. B. 5C. 5或－5D. 或
7. 已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（ ）
A. 6B. C. D.
8. 已知双曲线左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（ ）
A. 12B. 24C. 16D. 8
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知，，点P满足．则（ ）
A. 点P的轨迹为双曲线B. 直线上存在满足题意的点P
C. 满足的点P共有0个D. 的周长的取值范围是
11. 如图，点是棱长为2正方体的表面上一个动点，则（ ）
A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点在直线上，若的最小值为4，则_______．
13. 若数列满足，，则__________．
14. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则的值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足：，.
（1）若，求证：为等差数列.
（2）求数列前项和.
16. 在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点.
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程.
17. 已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和中点.

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角.
18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程，并求的值；
（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
19. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点．
（1）求双曲线的方程；
（2）延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标；
（3）若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．