重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷（Word版附解析）

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命题：苑繁宝 胡艺 审核：苑繁宝 打印：胡艺 校对：苑繁宝
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项符合题目要求.
1. 抛物线焦点坐标是（ ）
A B. C. D.
2. 已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ）
A. 45B. 60C. 75D. 90
3. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A. 是一个半径为的圆
B. 上的点到的距离均为
C. 是两条平行直线
D. 是一条与相交的直线
6. 我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ）
A. 6天 495人B. 7天 602人C. 8天 716人D. 9天 795人
7. 已知数列满足等于的个位数，则（ ）
A 2B. 4C. 6D. 8
8. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，垂直于点，直线与相交于两点.若，则（ ）
A. B. C. 2D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 曲线，下列结论正确有（ ）
A. 若曲线表示椭圆，则
B. 若曲线表示双曲线，则
C. 若，则渐近线为
D. 若，则短轴长为2
10. 过抛物线焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），过分别向的准线作垂线，垂足分别为，若与的面积之比为9，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 直线的斜率为
C.
D. 的面积为
11. 已知双曲线左，右焦点分别为为坐标原点.过的直线交双曲线的右支于两点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，点均在第一象限，则（ ）
A. 当垂直于轴时，
B. 的最小值为6
C. 点到两条渐近线的距离之积为
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 圆关于点对称的圆的方程为__________.
13. 已知点分别为双曲线的右顶点和右焦点，记点到渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为__________.
14. 已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于两点，且为直角三角形，求的方程.
16. 已知等差数列的前项和为，公差.
（1）求及数列的通项公式；
（2）记，若成等差数列，求并证明为等差数列.
17. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点.
18. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值.
19. 已知椭圆，圆为圆上任意一点.动点为线段的中点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作曲线的两条切线分别交椭圆于，记两切线斜率分别为.
（i）求的值；
（ii）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由.