新高考数学一轮复习精品讲练测第5章第03讲 平面向量基本定理及“爪子定理”（培优）（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
应用平面向量基本定理应注意的问题
只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.
形如条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质：
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线
当，则与位于同侧，且位于与之间
当，则与位于两侧
时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上
（2）已知在线段上，且，则
3、中确定方法
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解
考点一、平面向量的基本定理综合
1．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
2．（2020·新高考全国1卷·统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，
故选：A
3．（全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
4．（江苏·高考真题）设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是
【答案】
【详解】依题意，，
∴，∴，，故.
【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.
1．（全国·高考真题）在中，，．若点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：，故选A．
2．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面几何知识求解
【详解】如图，可知
=，选B.
【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，
3．（北京·高考真题）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则 .
【答案】4
【详解】如图建立直角坐标系，则=(-1,1)， =(6,2)， = (-1,-3)，由=λ＋μ，得，即解得，.
【考点定位】本小题考查了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理.
4．（高考真题）在中，，M为BC的中点，则_______．（用表示）
【答案】
【详解】解：，，所以。
考点二、“爪子定理”的综合应用
1．（全国·高考真题）设为所在平面内一点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由图可想到“爪字形图得：，解得：
如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
解：观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得
，且，由可得，
所以，由已知可得：，所以
答案：C
如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
解：观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得
，且，由可得，
所以，由已知可得：，所以
答案：C
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】用向量的线性运算把向量分解成形式即可得答案.
【详解】∵，
∴，
故选：B．
2．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知是平行四边形，，若，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，又，所以，
．
故选：C．
3．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在正中，点为边上一点，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，过点，作，交于点，作，交于点，然后结合平面向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】
如图，过点，作，交于点，作，交于点，
由知，所以，故，
所以，而，所以.
故选:C
4．（2023·江苏苏州·模拟预测）（多选）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】BC
【分析】分点内分与外分线段讨论，再由向量的线性运算求解即可.
【详解】当点在线段上时，如图，
，
所以，
当点在线段的延长线上时，如图，
，
则，
故选：BC.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）在中，记，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的运算，用表示出即可.
【详解】因为在中，若，所以点为中点，所以.
故选：D
2．（2023·重庆·校联考模拟预测）在中，为线段上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：D
3．（2023·全国·模拟预测）在中，，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形中向量对应线段的位置、数量关系，用，表示即可.
【详解】因为，所以，因此，
所以.
故选：A
4．（2023·山东潍坊·统考二模）在中，，点是的中点，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形中向量对应线段的数量及位置关系，用、表示出即可.
【详解】由题设，
所以.
故选：B
5．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）在平行四边形中，M为的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算的几何意义进行分解即可.
【详解】
.
故选：A.
6．（2023·浙江·校联考二模）在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上中点，记，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由向量运算的三角形法则，用，表示即可.
【详解】
故选：C.
7．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在中，是中线的中点，过点的直线交边于点M，交边于点N，且，，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】把向量分解成形式，再由三点共线，则即可求解.
【详解】因为三点共线，所以，且，
因为是的中点，所以，
因为，，
所以，则，得.
故选：D
8．（2023·广东·统考模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用坐标法，建立如图所示的平面直角坐标系，表示出各点坐标利用坐标运算结合平面向量基本定理即得.
【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

不妨设，则，，，，，
故，，.
设，则，
解得，
所以.
故选：B.
二、填空题
9．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在中，，点是的中点.若存在实数使得，则 （请用数字作答）.
【答案】
【分析】利用基底表示出，结合条件可得，进而可求答案.
【详解】因为是的中点，所以
因为，所以，
所以，所以，即.
故答案为：.
10．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）如图，平行四边形的对角线相交于点，，分别为，的中点，若，则 .
【答案】1
【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算的求得.
【详解】,
∴,∴,
故答案为：1
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）在平行四边形中，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量对应线段的数量及位置关系，用表示出，求出参数，进而得结果.
【详解】，

所以，则.
故选：D
2．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（ ）

A．B．2C．3D．6
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，根据，结合向量的坐标运算，即可求得答案.
【详解】以A为坐标原点，以为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

则,
故,
则由可得，
即，
故，
故选：A
3．（2023·安徽·校联考二模）如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定，，相加整理得到答案.
【详解】，则①；
，则②；
①②两式相加，，即，
故选：C.
4．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在平行四边形中，M，N分别为，上的点，且，，连接，交于P点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取为平面的基底，根据给定条件，结合平面向量基本定理求出作答.
【详解】在中，取为平面的基底，
由，得，
由，得，
由，知，
由，得，
因此，则，解得，
所以.
故选：C
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，点，分别是，边上的中点，线段，交于点D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由三角形重心的性质求解；方法二：设，根据题意计算可得，再由共线可求出的值.
【详解】方法一：可由三角形重心的性质知：
方法二：设，则，
由共线可知，，，故，
故选：C．
6．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为.如图，在矩形中，与相交于点，，且点为线段的黄金分割点，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意得，结合矩形的特征可用表示出，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.
【详解】由题意得，显然，，
同理有，，
所以，故，
因为
，
所以.
故选：D
二、多选题
7．（2023·江苏苏州·模拟预测）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】BC
【分析】分点内分与外分线段讨论，再由向量的线性运算求解即可.
【详解】当点在线段上时，如图，
，
所以，
当点在线段的延长线上时，如图，
，
则，
故选：BC.
三、填空题
8．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）在中，已知，与相交于，若，则 ．
【答案】/
【分析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论和向量不共线的性质即得.
【详解】因为，，所以，，
因为，所以
又与交于点O，所以，
另一方面，设，因为，
所以，则，代入中，
可解得，则.
故答案为：.

9．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）如图，在中，点是边上一点且，是边的中点，直线和直线交于点，若是的平分线，则 .

【答案】
【分析】分析可知与共线，可知存在，使得，然后依据、、三点共线以及、、三点共线可得出关于的表达式，结合平面向量的基本定理可求得的值.
【详解】记，，以、为邻边作平行四边形，
因为，则平行四边形为菱形，所以，平分，
且，
因为平分，则、共线，
则存在，使得，

因为、、三点共线，则、共线，则存在，
使得，即，可得，
因为为的中点，所以，，
因为、、三点共线，则、共线，
所以，存在，使得，即，
所以，，
因为、不共线，则，解得，
故，
又因为，所以，，故.
故答案为：.
10．（2023·江西赣州·统考二模）在平行四边形中，点，分别满足，，若，则 ．
【答案】/
【分析】以为基底向量，求，结合平面向量基本定理分析运算.
【详解】以为基底向量，则可得：
，
因为，即，
可得，两式相加的，可得.
故答案为：.