新高考数学一轮复习精品讲练测第5章：平面向量与解三角形 模拟测试（2份，原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．在中，若，则一定是（ ）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】由余弦定理化简计算即可.
【详解】由及余弦定理得：，即.
故选：D
2．已知向量，，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据，两边平方后可得，求出的值，进而求出
【详解】，两边平方得 ，
展开整理得.
,解得.
故选：C
3．如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据平行向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
【详解】因为，，所以，
因为为的中点，所以，
所以，所以，.
可知：AD错误，BC正确.
故选：BC.
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，要求考生了解平面向量基本定理及其意义.
4．在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，由面积公式求出，再由余弦定理求出，即可得解.
【详解】，
由正弦定理可得，
整理可得，
所以，
为三角形内角，，
∴，∵，，则，故B错误；
∵，，
，解得，
由余弦定理得，
解得或（舍去），故C正确，D错误.
又，所以，则三角形为等边三角形，
所以，则，故A错误.
故选：C.
5．如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A．B．3C．D．48
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设，，（），即可得到、，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、，
设，，（），则，
所以，
所以，即，
所以，，
所以
，
又，所以当时取得最小值为.

故选：A
6．已知中，角对应的边分别为，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】先利用正弦定理的边角变换与余弦定理可求得，再设，利用正弦定理与正弦函数的和差角公式得到，从而得解.
【详解】因为，
由正弦定理得，则，即，
所以，，则，

设，则，且，
在中，，则，
在中，，则，
又，即，
又由正弦定理知（为的外接圆半径），
所以，
则，即，
又，故当，时，.
故选：A
7．中，三边之比，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】首先由结合余弦定理得出，然后根据二倍角公式和正弦定理即可得出结果.
【详解】因为， 不妨设，
则，
由正弦定理可得
.
故选：C.
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由正弦定理及诱导公式结合可得.
由，结合可得，.后由∠MAB＝∠MBA，结合正弦定理，可得，即可得面积
【详解】由正弦定理及诱导公式，可得：
，
化简得：，又，则.
又，则 ，.
因，则，，
则在MAC中，，解之：.
则，
则MAC中，边对应高，
则MAC面积．
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 2 分）
9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为
D．若，则向量与的夹角为锐角
【答案】BC
【分析】根据向量线性运算即数量积公式可判断AB选项，根据投影向量定义可得判断C选项，由 可得，但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.
【详解】解：已知平面向量，，，
对于A，若，可得，即，解得，所以A选项错误；
对于B，若，根据平面向量共线性质，可得，即，所以B选项正确；
对于C，若，则，
由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，
所以C选项正确；
对于D，若，则，所以；
但当时，，
此时向量与的夹角为，所以D选项错误；
故选：BC.
10．在△ABC中，已知a＝2b，且，则（ ）
A．a，c，b成等比数列
B．
C．若a＝4，则
D．A，B，C成等差数列
【答案】ABC
【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得，再结合条件，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】因为，
所以，
即，即.
对选项A，因为，所以、、成等比数列，故A正确；
对选项B，因为，，即，所以，
即，故B正确；
对选项C，若，则，，
则，
因为，所以.
故，故C正确.
对选项D，若、、成等差数列，则.
又因为，则.
因为，设，，，，
则，故D错误.
故选：ABC
11．在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】ACD
【分析】由面积公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理将角化边，即可求出，再由正弦定理及三角恒等变换公式将转化为关于的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得.
【详解】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：
，
即有，而，则，
又，
由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
又是锐角三角形且，有，，解得，
因此，
由得：，，
所以，
结合选项，的可能取值为，，.
故选：ACD
12．在中，P，Q分别为边AC，BC上一点，BP，AQ交于点D，且满足，，，，则下列结论正确的为（ ）
A．若且时，则，
B．若且时，则，
C．若时，则
D．
【答案】AD
【分析】根据向量共线定理的推论，得到，，代入相应的变量的值，求出其他变量，从而判断AB选项，对上式变形得到，假设成立，推导出，得到矛盾，故C错误，根据向量共线定理的推论得到，，变形得到.
【详解】由题意得：，，，
，即
即，
所以，
因为三点共线，
所以，
当且时，，
解得：，
，，
，所以，
即，
即，
所以，
因为三点共线，
所以，
当且时，，
解得：，
故A正确；
若且时，，，
解得：，B错误；
，变形为：，①
若时，则，代入①式得：
假设成立，则，解得：，
此时，显然无解，故假设不成立，故C错误；
同理可得：，，
所以，，
所以
D正确.
故选：AD
【点睛】利用向量共线定理的推论得到关系式，然后解决向量的倍数关系，本题中要能在多个等式中进行适当变形，然后找到等量关系
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知向量，，，满足，且，，则与的夹角为 ．
【答案】或
【分析】根据给定条件，求出向量，的夹角，借助几何图形求出垂直于向量的向量与的夹角，再结合共线向量求解作答.
【详解】依题意，，，则，而，于是，
作向量，有，是边长为1的正三角形，如图，
取的中点，连接，则，且，
而，因此，则与共线，
所以向量与的夹角为或.
故答案为：或
14．已知中，，则 ．

【答案】/0.6
【分析】由以为基底表示，结合，，可得,后即可得答案.
【详解】由图可得，因，则
，则，
因，则，，代入上式有：
，.则.
故答案为：
15．在中，，D为BC边上一点，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】将用表示，再平方可求得，再由结合二次函数得性质即可得解.
【详解】由，
得，
则，
所以，
则，
当时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：将用表示，再平方是解决本题的关键.
16．在中，角的对边分别为， ，，若有最大值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由正弦定理，三角恒等变换和辅助角公式可得，其中，结合范围，由于有最大值，可求，进而求解的取值范围.
【详解】由于，所以，
由正弦定理得，
所以，，
所以
.
当，即时，，没有最大值，所以，
则，其中，
要使有最大值，则要能取，由于，
所以，所以，即，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
四、解答题（本题共 6 小题，其中 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分， 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若．
(1)求角的值；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、弦化切以及三角恒等变换可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用余弦定理可求出的最大值，再利用三角形的面积公式可求得的最大值.
【详解】（1）解：因为，
所以，
，且，
由正弦定理可得，
即，
因为，则，则，
又因为，故.
（2）解：由余弦定理，可得.
当且仅当时取得等号，所以.
所以，面积，
所以，面积的最大值为．
18．在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若D为边上一点，满足，，且______．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，再结合同角的三角函数关系求得，即得答案；选②，利用正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式化简可得，即得答案;
（2）由正弦定理分别求得的表达式，结合两角差的正弦公式化简可得的表达式，结合正弦函数性质，即可求得答案.
【详解】（1）选①，
由正弦定理可得，
即，
因为，故，
又，故.
选②，
由正弦定理得，
即，即，
即，而,
故，又，故.
（2）因为，故，
在中，，得,
在中，,得,
故，而，
所以，
由题意知，
故，即的取值范围为.
19．已知在中，角的对边分别为.
(1)求角的余弦值；
(2)设点为的外心（外接圆的圆心），求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中， 由余弦定理可得答案；
（2）设的中点分别为，利用向量数量积公式计算可得答案.
【详解】（1）在中，，
由余弦定理；
（2）设的中点分别为，
则，
同理.

20．在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正余弦定理，结合三角恒等变换求解即可；
（2）先求得的面积为，再设，，根据余弦定理与基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，所以，
所以，
所以，所以，
因为，所以，又，所以.
（2）因为，，所以的面积为
所以的面积为.
设，，所以，即，
由余弦定理知，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
21．如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2)．
【分析】(1)中，利用含的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得面积，再利用面积关系求的面积得解；
(2)由题设中角的信息用表示出与中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得的方程，解之即得.
【详解】(1)设，在中，由余弦定理得：
，即，而x>0，解得，
所以，则的面积，
梯形中，，与等高，且，
所以的面积，
则梯形的面积；
(2)在梯形中，设，而，
则，，，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
两式相除得：，
整理得，
即
解得或，
因为，则，即．
【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；
(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
22．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数和差化积公式与倍角公式推得，从而得到，由此得解；
（2）结合（1）中结论，利用余弦定理与基本不等式即可得解.
【详解】（1）由正弦定理得，
又，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，故，
又，所以，
因为，所以．
（2）由（1）得，
所以由余弦定理得，
记，则，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即，
故，则，
所以，即．