新高考数学一轮复习精品讲练测第6章第02讲 等差数列及其前n项和（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
等差数列的定义
从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用表示
数学表达式
通项公式
，，，
等差数列通项公式与函数关系
令，，等差数列为一次函数
等差中项
若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项
等差数列通项公式的性质
（1）若，或
（2）若，为等差数列，则，仍为等差数列
等差数列前n项和
或
等差数列前n项和与函数关系
令，，
等差数列前项和公式是无常数项的二次函数
等差数列前n项和的性质
，，……仍成等差数列
为等差数列
推导过程：（一次函数）为等差数列
证明数列为等差数列的方法
（1）（为常数）为等差数列
（2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数）
（3）若，则，，三个数成等差数列
考点一、等差数列项、公差及通项公式的求解
1．（山东·高考真题）是首项，公差的等差数列，如果，则序号n等于（ ）
A．667B．668C．669D．670
2．（海南·高考真题）已知是等差数列，其前5项和．则其公差 ．
3．（重庆·高考真题）在数列中，若，，则该数列的通项 .
4．（北京·高考真题）设是等差数列，且，，则的通项公式为 ．
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知为等差数列，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（ ）
A．2033B．2123C．123D．0
3．（2022·四川成都·统考三模）在等差数列中，已知，，则数列的公差为（ ）
A．B．0C．1D．2
4．（2022·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知为等差数列，首项，公差，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点二、等差中项的应用
1．（2023·辽宁大连模拟预测）等差数列，，，的第四项等于（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列中，与的等差中项为8，且，则（ ）
A．6B．9C．12D．18
考点三、等差数列的性质
1．（北京·高考真题）在等差数列中，已知，那么等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．66B．72C．132D．144
3．（江西·高考真题）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ ．
4．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）已知等差数列中，为其前项和，，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
1．（全国·高考真题）设等差数列的前项和为，若，则 .
2．（江西·高考真题）已知等差数列，若，则 .
3．（2023·全国·校联考二模）等差数列中，.则前13项和（ ）
A．133B．130C．125D．120
4．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列中，若，则 .
考点四、等差数列前项和的求解
1．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
2．（2020·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则 ．
3．（2020·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
4．（2021·全国·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
5．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）在公差不为零的等差数列中，为其前n项和，若，则 ．
2．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若等差数列前项和为，且，，数列的前10项的和为 .
3．（2023·湖南·校联考二模）记为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
4．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）已知在等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设是数列的前项和，求.
5．（2023·云南昭通·统考模拟预测）设是公差不为0的等差数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使的的最大值.
考点五、等差数列前项和的性质
1．（全国·高考真题）已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（ ）
A．9B．C．12D．
3．（2023·辽宁大连·校联考二模）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·青海海东·校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
5．（2022·河南新乡·统考一模）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·模拟预测）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
1．（辽宁·高考真题）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63B．36C．45D．27
2．（陕西·高考真题）等差数列的前项和为，若则等于
A．12B．18C．24D．42
3．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江西·临川一中校联考模拟预测）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（ ）
A．B．C．D．
考点六、等差数列通项公式与前项和的关系
1．（全国·高考真题）设等差数列的公差是d，如果它的前n项和，那么（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知各项均为正数的数列的前项和为，且为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和.
1．（2023·四川达州·统考二模）已知是数列前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记，分别为数列的前n项和与前n项积，求．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
3．（湖南·高考真题）已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
考点七、等差数列通项公式与前项和的最值
1．（福建·高考真题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6B．7C．8D．9
2．（2023·陕西西安·校联考一模）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（ ）①为的最小值 ② ③， ④为的最小值
A．1B．2C．3D．4
4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（ ）
A．10B．11C．12或13D．13
5．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知首项为的等差数列的前n项和为，公差为d，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．（全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
1．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列的公差为，共前项和为，已知，，则下列结论不正确的是（ ）.
A．，B．与均为的最大值
C．D．
2．（2023·云南·校联考三模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为 .
3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知为等差数列的前项和．若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2023·河南·统考模拟预测）设数列为正项等差数列，且其前项和为，若，则下列判断错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．（全国·高考真题）设等差数列满足，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值
考点八、等差数列的证明
1．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
3．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.
4．（2023·云南曲靖·校考三模）已知数列满足.记.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设数列的前项和为，求数列的前20项的和.
1．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
2．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
3．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．
(1)求证：为等差数列；
(2)记，求数列的前2023项的和M．
4．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足
(1)证明：数列为等差数列;
(2)若求数列的前项和.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
2．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．30B．28C．26D．13
4．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且若，则n的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式 ．
7．（2023·甘肃·三模）已知数列满足，，则数列的前8项和为 .
三、解答题
8．（2023·山西阳泉·统考三模）已知数列满足，．
(1)记求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
9．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）记为数列的前n项和，已知，．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式．
10．（2023·辽宁丹东·统考二模）记为数列的前项和，已知，．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．
二、多选题
3．（2023·辽宁大连·大连八中校考三模）已知等差数列的前n项和为，公差．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山东淄博·统考二模）已知数列的前项和是，满足对成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．一定是递减数列
C．数列是等差数列D．
三、填空题
5．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知等差数列的首项为，公差，等比数列满足，，则的取值范围为 .
四、解答题
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记为数列的前n项和，已知.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.
7．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
8．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
9．（2023·天津红桥·统考一模）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和；
(3)记，求数列的前项和.
10．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足
(1)求数列{}的通项公式：
(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.
【真题感知】
一、单选题
1．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
2．（2021·北京·统考高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
4．（2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
二、填空题
5．（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
三、解答题
6．（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
8．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
9．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
10．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．