新高考数学一轮复习精品讲练测第6章：数列 模拟测试（2份，原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．44B．48C．55D．72
【答案】A
【分析】利用基本量法可得，故可求的值.
【详解】设的公差为d，则，即，
则，
故选：A.
2．设是公差大于零的等差数列，为数列的前项和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由得出，再结合等差数列的性质以及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】，
由是公差大于零的等差数列，且，可得，即；
反之，若，则当时，，即．
因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也涉及了等差数列基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题.
3．在等比数列中，公比，且，则（ ）
A．3B．12C．18D．24
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】，.
故选:B.
4．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.
【详解】设等差数列的公差分别为和
,即
,即 ①
,即 ②
由①②解得

故选：C
5．已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
【答案】C
【分析】分析可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论.
【详解】因为数列各项为正数，满足，，
故对任意的，，则，
所以，数列的每一项都是正数，
所以，，可得，
由等差中项法可知，数列是等差数列，
故选：C.
6．已知正项数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由关系且可得，利用累加法、等比数列前n项和公式求.
【详解】由题设，则，
又都为正项，则，故，
所以，
所以，故.
故选：C
7．已知函数，数列满足，，，则（ ）
A．0B．1C．675D．2023
【答案】B
【分析】利用函数计算可得，再利用数列的周期性可求.
【详解】的定义域为，且，
故为上的奇函数.
而，
因在上为增函数，在为增函数，
故为上的增函数.
又即为，故，
因为，故为周期数列且周期为3.
因为，
所以.
故选：B.
8．已知数列由首项及递推关系确定.若为有穷数列，则称a为“坏数”.将所有“坏数”从小到大排成数列，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由得，所以数列为等差数列,则，求出数列，当分母为0，得，即时，数列为有穷数列，得出，即，又，，根据单调性可得答案.
【详解】由，得
则，即
所以数列为等差数列,则
则，所以
当时, ，满足条件.
当分母为0，得，即时，数列为有穷数列.
当时, 数列为有穷数列.则
当分母为0时，无意义，此时数列为有穷数列，此时对应的值为
所以，由，则，即
设，则
所以在上单调递增.
所以
设设，则
所以在上单调递增.
所以
所以选项C正确
故选：C
【点睛】本题考查根据递推公式求数列的通项公式，考查新定义，考查求数列中项的范围，属于难题.
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 2 分）
9．对于数列，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列是等差数列D．
【答案】ACD
【分析】由，得，两式相减得，结合可知数列所有奇数项和所有偶数项各自构成等差数列，从而即可对选项进行逐一判断.
【详解】由，，
得，，
，所以A选项正确；
又，，
两式相减得，
令，可得，
所以不是等差数列，是等差数列，
故B选项错误，C正确；
同理，令，则，
所以是以为首项，公差为2的等差数列，
所以，故D正确.
故选：ACD
10．在数列中，，数列是公比为2的等比数列，设为的前n项和，则（ ）
A．B．
C．数列为递减数列D．
【答案】ACD
【分析】由已知结合等比数列通项公式可求，进而可求，然后结合单调性定义及数列的求和分别检验各选项即可判断和选择.
【详解】因为，数列是公比为2的等比数列，所以
所以，故正确，错误；
因为是单调增函数，故是单调减函数，
故数列是减数列，故正确；
，故正确.
故选：.
11．已知数列满足为的前项和．则下列说法正确的是（ ）
A．取最大值时，B．当取最小值时，
C．当取最大值时，D．的最大值为
【答案】AD
【分析】由题意知，即可得到的取值范围，从而得到令，即可得到，从而得到，即可判断A、B，再利用基本不等式求出，即可判断C、D.
【详解】由题意知，则，因为，
所以，
令，所以，所以，所以，
即或，又，故．
当取最大值时，，此时，则，，
故，故A正确；
当取最小值时，，此时，则，，
故，故B不正确；
由，知，
即，当且仅当时取等号，
故当取最大值时，，
此时，故C不正确，D正确．
故选：AD
12．数列，，，该数列为著名的裴波那契数列，它是自然界的产物揭示了花瓣的数量、树木的分叉、植物种子的排列等植物的生长规律，则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．数列为等比数列D．数列为等比数列
【答案】ABD
【分析】对于A，根据累加法得出结果；对于B，根据，，累加得出结果；对于C、D，先假设等比数列公比为q，再结合进行判断.
【详解】对于A，由，，…，，两边相加并代入得，故A正确；
对于B，因为，则， 则
.
故B正确；
对于C，假设为公比为q等比数列，
故，即，
所以，，矛盾，故C不成立.
对于D，假设为公比为q的等比数列，
故，即，
由已知得：，，解得，所以D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活利用数列的递推关系，将选项进行变形转化，由，转化 ，再结合累加得出结果.本题是一个偏难的题目，灵活性强，学生不容易把握.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】对已知递推关系的等式两边同时除以，利用累加法，结合裂项求和法即可求得结果.
【详解】，两边同除得：
，
所以，即，
化简得，∵，∴．
故答案为：.
14．已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
【答案】
【分析】分析可知是正奇数列，根据题意求得，然后利用裂项相消法求和即可.
【详解】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，则，
所以.
故答案为：.
15．已知数列满足，数列的前项和为，则 .
【答案】
【分析】根据所给递推关系可得，，与原式作差即可求解，注意验证首项，再结合裂项相消法求和即可..
【详解】因为，
所以，
两式相减，可得，即，
又当时，，不满足，所以
所以当时，，
当时，,
所以.
故答案为：.
16．已知各项都不为0的数列的前项和满足，其中，设数列的前项和为，若对一切，恒有成立，则能取到的最大整数是 .
【答案】
【分析】根据题意推得，利用等差数列的通项公式，求得的通项公式为，得到，令，结合，求得最小时为，根据恒成立，求得，即可求解.
【详解】因为，当时，，
两式相减可得，即，
因为数列的各项都不为0，所以，
因为，所以，
数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列，所以；
数列的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以，
故数列的通项公式为，可得，所以，
令，
，
，则，
所以随着的增大而增大，即在处取最小值，，
又因为对一切，恒有成立，所以，解得，
故能取到的最大整数是.
故答案为：.
四、解答题（本题共 6 小题，其中 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分， 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据与的关系化简，可得，由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求出，再由累乘法求解.
【详解】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式两边同时除以，得．
又，所以，即，
所以是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
18．在①为等差数列，；②；③是等差数列，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知数列的前项和为，__________.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式以及由递推关系求通项的方法代入即可求解；（2）两次使用乘工笔错位相减即可求解.
【详解】（1）若选①，设的公差为，
由题意可得解得，
所以.
若选②，当时，，解得；
由题得，
所以当时，，
作差得，
即，
又，
所以，
所以是公差为2的等差数列，
所以.
若选③，设的公差为，
所以，
所以，
因为，
所以，
解得或（舍去），
所以，
当时，，
当时，，也满足，
所以.
（2）由（1）可得，所以.
所以，①
所以，②
①-②得，
令③
则，④
③-④得，
所以，
所以，
所以.
19．已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式可得，采用两式相减的方法可得，从而构造数列，可求得的通项公式；
（2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法，可得答案.
【详解】（1）当时，，则，
因为，
所以，
两式相减得： ，
所以，，
，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
当时，，故.
20．已知数列中，，，（），，，，成等差数列．
(1)求k的值和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由，，成等差数列，可求得，即可求出值和通项公式.
（2）由（1）可求出的通项公式，分类讨论即可求出数列的前n项和．
【详解】（1）解：，，成等差数列，
所以，
得，得，
因为，所以，
所以，得．
（2）由（1）知，
当n为偶数时，设n＝2k，
可得
，
即；
当n为奇数时，设n＝2k－1，
可得
，
即．
综上所述，.
21．已知函数的首项，且满足．
(1)求证为等比数列，并求．
(2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由已知可推得，变形可得，即可得出证明.由已知，进而得出，整理即可得出答案；
（2）分组求和得出.根据错位相减法求，得出，即可得出，然后根据，即可得出答案.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
所以.
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，所以.
（2）因为，
所以
.
设，
所以，
所以
，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以，
所以.
22．数列满足，.
(1)证明：；
(2)若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先从函数的角度证明不等式的右边成立，再运用数学归纳法或求通项的方法证明不等式右边成立，在利用求通项的方法时，需要给出数列的单调性说明才能证得结果；
（2）根据（1）运用放缩法，将进行放缩，进而表示出，再运用不等式的性质证得结论成立.
【详解】（1）证明：右边：，
左边：法一（数学归纳法）：
，，
当时，
假设当时，成立
即，即成立
则当时，
综上所述，.
法二（求通项）：
，，
两边同时取对数得：
数列是以首项为，公比为的等比数列，

数列单调性证明：
思路1：由复合函数的单调性，知单调递增，；
思路2：，；
思路3：，；
综上所述，.
（2）证明：法一：放缩到裂项
因为，所以，
由（1）知
所以
所以
所以，
又，所以，所以.
法二：放缩到等比
，
所以，
所以，
所以
所以.