新高考数学一轮复习精品讲练测第7章第01讲 基本立体图形 简单几何体的表面积及体积（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
3.空间几何体的表面积与体积公式
考点一、柱体的表面积与体积
1．（全国·高考真题）正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成角，则此三棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合已知条件，求出正三棱柱底面边长和高，然后利用柱体体积公式求解即可.
【详解】因为正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成角，
所以正三棱柱的侧面为正方形，且这个正方形的边长为，
即正三棱柱的底面边长为，高，
故正三棱柱的底面面积，
从而正三棱柱的体积为.
故选：A.
2．（全国·高考真题）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，
所以其表面积为，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
3．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等．若直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜棱柱的体积和侧面积分别为和，则（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系无法确定
【答案】A
【分析】结合棱柱的侧面积和体积公式判断即可.
【详解】设棱柱的底面周长为，底面面积为，侧棱长为，斜棱柱的高为，
则，而，斜棱柱各侧面的高均不小于，所以，
于是，有，所以，．
故选：A.
1．（全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为R，高为，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何特点，求得圆柱的高，再求全面积即可.
【详解】根据题意，作图如下：
易知△，故可得，即，故可得，
故圆锥的内接圆柱的全面积为：.
故选：.
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，某圆柱体的高为，是该圆柱体的轴截面.已知从点出发沿着圆柱体的侧面到点的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的体积是（ ）

A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆柱侧面展开图，先求出圆柱底面半径，再根据体积公式求圆柱体的体积.
【详解】
设圆柱体底面圆的半径为，将侧面展开后四边形为矩形，
则依题意得：，
所以，即，
所以该圆柱体的体积为：，
故选：D.
3．（全国·高考真题）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值．
【详解】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，，，
全面积为，而侧面积为，
所以全面积与侧面积之比这．
故选：A．
考点二、锥体的表面积与体积
1．（2023·湖南·校联考二模）已知一个圆锥的母线长为6，体积为，则此圆锥的高为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】根据圆锥的体积公式结合圆锥的性质分析运算.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，
因为，得，
又因为该圆锥的体积，可得，
即，整理得，
解得或或（舍去）．
故选：C．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得，，从而得到，再在中利用余弦定理求得，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；
法二：先在中利用余弦定理求得，，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.
【详解】法一：
连结交于，连结，则为的中点，如图，
因为底面为正方形，，所以，则，
又，，所以，则，
又，，所以，则，
在中，，
则由余弦定理可得，
故，则，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面积为.
法二：
连结交于，连结，则为的中点，如图，
因为底面为正方形，，所以，
在中，，
则由余弦定理可得，故，
所以，则，
不妨记，
因为，所以，
即，
则，整理得①，
又在中，，即，则②，
两式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面积为.
故选：C.
3．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）在正四棱锥中，分别为的中点，直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，，根据得即为与所成的角，设，再根据几何关系可求得，再根据，结合锥体体积求解即可.
【详解】连接，，如图，

设，由，得即为与所成的角，
在中，易知，，解得.
设，在中，①，
因为，故，
则在中，，
即②，
①②两式相加求得，因为，解得.
因为为的中点，故，
因为，，所以三角形为等腰直角三角形，
则在等腰直角三角形中，易求得到的距离即到底面的距离为，
故到平面的距离为，
，
故所求三棱锥的体积为.
故选：B
4．（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【分析】证明平面，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解.
【详解】取中点，连接，如图，

是边长为2的等边三角形，，
，又平面，，
平面，
又，，
故，即，
所以，
故选：A
1．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.
【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图，
，，由的面积为，得，
解得，于是，
所以圆锥的体积.
故选：B
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）如图1，在高为的直三棱柱容器中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高为（ ）

A．B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解.
【详解】解：在图（1）中的几何体中，水的体积为,
在图（2）的几何体中，水的体积为：，
因为，可得，解得.
故选：B.
3．（2021·北京·统考高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
【答案】B
【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，
所以积水厚度，属于中雨.
故选：B.
4．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，
所以，
又，
则，
所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故选：C.
考点三、台体的表面积与体积
1．（全国·高考真题）已知正六棱台的上､下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据台体体积公式即可求解.
【详解】设正六棱台的上下底面面积分别为,因为正六边形是由6个全等的等边三角形组成，
所以
所以六棱台的体积.
故选:B.
2．（2023·全国·统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
【答案】
【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.
【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，
截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
方法二：棱台的体积为.
故答案为：.

3．（2021·全国·统考高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：D.
4．（北京·高考真题）如果圆台的母线与底面成角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设圆台的母线为，高为，由题可得，然后根据圆台的侧面积公式即得.
【详解】设圆台的上下底面半径分别为，圆台的母线为，高为，
由题可知，即，
所以圆台的侧面积与轴截面面积的比为.
故选：C.
1．（2023·山东潍坊·三模）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为（ ）（注：1丈尺）
A．11676立方尺B．3892立方尺
C．立方尺D．立方尺
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．
【详解】如图所示，
正四棱锥的下底边长为二丈，即尺，
高三丈，即尺；
截去一段后，得正四棱台，且上底边长为尺，
所以，
解得，
所以该正四棱台的体积是
（立方尺）．
故选：．
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，高，点S、A分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（ ）

A．该圆台的体积为
B．直线SA与直线所成角最大值为
C．该圆台有内切球，且半径为
D．直线与平面所成角正切值的最大值为
【答案】B
【分析】对于A，根据圆台的体积公式，可得答案；对于B，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；对于C，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案；对于D，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案.
【详解】对于A选项，，则A选项正确．
对于B选项，如图（1），过作垂直于下底面于点，则，
所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即为所求，
而，由圆的性质得，，
所以，
因为，则B选项错误．

对于C选，设上底面半径为，下底面半径为，若圆台存在内切球，
则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，
高为，易得等腰梯形的腰为，假设等腰梯形有内切圆，
由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为，所以圆台存在内切球，
且内切球的半径为，则C选项正确；

对于D选项，如图（3），平面即平面，
过点做交于点，因为垂直于下底面，而含于下底面，
所以，又，且平面，
所以平面，所以直线与平面所成角即为，
且．设，则，
所以，其中，
所以，
当时，，当时，
．根据复合函数的单调性，
可知函数，在上单调递增，
所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确．

故选：B.
【点睛】本题考查立体几何的内切球问题，线面角的最值求解，异面直线所成角的求解，圆台的体积的求解.对于D选项这样的动点问题求最值，如果不能从图形中找到最值对应的点的位置，那么可以通过求函数最值的方法求解.
3．（2023·福建宁德·校考模拟预测）“辛普森（Simpsn）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V等于其上底面的面积S、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积的4倍、下底面的面积之和乘以高h的六分之一，即.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称为拟柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面.中国古代名词“刍童”（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体.已知某“刍童”尺寸如图所示，且体积为，则它的高为（ ）

A．B．C．D．4
【答案】D
【分析】求出上下底面积和中截面面积，代入公式即可求出高.
【详解】上底面，下底面，
所以中截面是过高的中点，且平行于底面的截面，其中分别是对应棱上的中点，如图所示，
根据中位线定理得，，
所以，
，解得，
故选：D.

4．（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
【答案】/
【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.
【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，
则，
故，则，
所以所求体积为.
故答案为：.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知某圆台的高为，上底面半径为1，下底面半径为2，则其侧面展开图的面积为（ ）
A．9πB．C．D．8π
【答案】A
【分析】求圆台的侧面积，直接利用公式求解.
【详解】∵圆台的母线长为，
∴其侧面展开图的面积.
故选：A.
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】B
【分析】根据球与圆锥的表面积计算公式，建立方程，可得答案.
【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为，则，即，，
球的表面积，圆锥的表面积，
则.
故选：B.
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为20cm和10cm，侧棱长为cm．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（ ）

A．1.5LB．1.7LC．2.3LD．2.7L
【答案】C
【分析】根据棱台的体积公式求解即可.
【详解】根据题意画出正四棱台的直观图，其中底面是边长为20的正方形，底面是边长为10的正方形，侧棱，记底面和底面的中心分别为和，则是正四棱台的高.

过作平面的垂线，垂足为，则且，，
所以，，
故，
所以棱台的高，
由棱台的体积公式得．
故选：C .
4．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（ ）．

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据棱柱与圆柱的侧面积公式求解.
【详解】所求几何体的侧面积为，
上下底面面积为，
挖去圆柱的侧面积为，
则所求几何体的表面积为．
故选：C．
5．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）《九章算术》中将圆台称为“圆亭”．已知圆亭的高为，上底面半径为1，母线与底面成角，则此圆亭的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作该圆亭的轴截面，根据几何关系求得下底面半径，进而根据体积公式求解即可.
【详解】由题意，可作该圆亭的轴截面，如下图所示：

则圆台的高，
上底面半径，下底面半径，母线，即，
在中，，则，
综上，，
圆台的体积．
故选：A．
二、多选题
6．（2023·重庆·二模）“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为的半球的体积，则（ ）（参考数据：）

A．这两碗馅料最多可包三角粽35个
B．这两碗馅料最多可包三角粽36个
C．这两碗馅料最多可包竹筒粽21个
D．这两碗馅料最多可包竹筒粽20个
【答案】AC
【分析】分别求出一个正四面体状的三角粽的体积，一个圆柱状竹筒粽得体积及两碗馅料得体积，即可得出答案.
【详解】解：两碗馅料得体积为：，
如图，在正四面体中，CM为AB边上得中线，O为三角形ABC的中心，则OD即为正四面体的高，
，，，
所以正四面体的体积为，
即一个正四面体状的三角粽的体积为，
因为，
所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，故A正确，B错误；
一个圆柱状竹筒粽得体积为，
因为，
所以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，故C正确，D错误.
故选：AC.
7．（2023·河北保定·统考一模）沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（ ）
A．沙漏的侧面积是
B．沙漏中的细沙体积为
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D．该沙漏的一个沙时大约是837秒
【答案】BD
【分析】A选项，求出圆锥的母线长，从而利用锥体体积公式求出沙漏的侧面积；B选项，根据细沙形成的圆锥的高度得到此圆锥的底面半径，得到细沙的体积；C选项，由B选项求出的体积公式得到细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度；D选项，利用细沙的体积和沙漏漏下的速度求出时间.
【详解】A选项，设下面圆锥的母线长为，则cm，
故下面圆锥的侧面积为，故沙漏的侧面积为，故A错误；
B选项，因为细沙全部在上部时，高度为圆锥高度的，
所以细沙形成的圆锥底面半径为cm，高为cm，
故底面积为，所以沙漏中的细沙体积为，B正确；
C选项，由B选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为，其中此锥体的底面积为，故高度为cm，C错误；
D选项，秒，故该沙漏的一个沙时大约是837秒，D正确.
故选：BD
8．（2023·江苏常州·校考二模）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器以BC为轴顺时针旋转，则（ ）
A．有水的部分始终是棱柱
B．水面所在四边形EFGH为矩形且面积不变
C．棱始终与水面平行
D．当点H在棱CD上且点G在棱上（均不含端点）时，不是定值
【答案】AC
【分析】利用棱柱的几何特征判断A；根据水面矩形变化情况判断B；利用线面平行的判定判断C；利用盛水的体积判断D作答.
【详解】对于A，有水部分的几何体，有两个面都垂直于BC，这两个面始终平行，而，
并且BC始终与水面平行，即有，若点H在棱上，由面面平行的性质知，
，若点H在棱CD上，，因此该几何体有两个面互相平行，其余各
面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，A正确；
对于B，因为水面为矩形，边的长不变，随旋转角的变化而变化，矩形的面积不是定值，B错误；
对于C，因为始终与平行，而始终与水面平行，并且不在水面所在平面内，即棱始终与水面平行，C正确；
对于D，当点在棱上且点在棱上（均不含端点）时，有水部分的棱柱的底面为三角形，
而水的体积不变，高不变，则底面面积不变，即为定值，D错误.
故选：AC
三、填空题
9．（2023·河北唐山·模拟预测）在圆锥中，为底面圆心，为圆锥的母线，且，若棱锥为正三棱锥，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】求出圆锥的底面圆的半径，从而得到圆锥的侧面积.
【详解】因为棱锥为正三棱锥，所以，，
因为⊥，⊥，由勾股定理得，
即圆锥的底面圆半径，母线长为，
则该圆锥的侧面积为.

故答案为：
10．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为 ．
【答案】
【分析】由题意设正方体的棱长为，二十四等边体由该正方体切割而得，可以先求出正方体的体积，沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，利用正方体的体积减去8个全等的三棱锥的体积即可求二十四等边体的体积，进而可求其体积比.
【详解】
如图：设原正方体的棱长为，则正方体的体积为，
又因为截去的8个三棱锥为全等的三棱锥，都有三条互相垂直的棱长，棱长为，
故截去体积为，
所以二十四等边体的体积为．
所以二十四等边体与原正方体的体积之比为
故答案为：
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体.若连接某正方体的相邻面的中心，就可以得到一个正八面体，已知该正八面体的体积，则生成它的正方体的棱长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】设正方体棱长为，由已知结合锥体体积公式表示正八面体的体积，列方程求，可得正方体的边长.
【详解】设正方体棱长为，
可得正八面体是由两个四棱锥构成，四棱锥的底面为边长为的正方形，高为，
则正八面体体积为，
解得，
∴棱长.
故选：D.

2．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先作出加工后木块的横截面的形状，据此计算即可得加工后木块的体积.
【详解】加工后木块的横截面的形状如图所示，

其中 O 为横截面的中心，
,
，，计算可得 ,
:,
所以加工后木块的体积为
.
故选： B .
3．（2023·广东梅州·统考三模）在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用圆锥侧面积公式以及母线、底面半径和高的关系得到方程组即可解出圆锥底面半径，再利用圆柱侧面积公式即可求圆柱的高，最后再根据相关体积公式即可得到答案.
【详解】设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，
因为圆锥的侧面积为，所以，即.
因为，所以联立解得（负舍）.
因为圆柱的侧面积为，所以，即，解得，
所以该毡帐的体积为.
故选：A.
4．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，是棱AB上一点，若平面把三棱柱分成体积比为的两部分，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】先画出平面与三棱锥的截面，分析清楚两部分是什么几何体，由等体积求解即可.
【详解】如图：
延长与交于，连接交于，
则平面与三棱锥的截面是，
将三棱锥分成两部分，三棱台，多面体，
设，，，
，
，设，则，
，则，
，解得：，由于
所以
故选：D.
5．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由线面平行性质可知，结合棱台和棱柱体积公式可求得，由相似关系可求得结果.
【详解】平面，平面平面，平面，；
设的面积为，的面积为，三棱柱的高为，
三棱台的体积，
又三棱柱的体积，
，解得：（舍）或，
∽，，即.
故选：A.
二、多选题
6．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，，，P，Q分别为棱，BC的中点，则（ ）

A．平面B．平面平面
C．三棱柱的侧面积为D．三棱锥的体积为
【答案】BD
【分析】记AC中点为D，连接，记交点为E，连接EQ，判断是否平行即可判断A；证明平面可判断B；直接求出侧面积可判断C；通过转化，然后可求得三棱锥的体积，可判断D.
【详解】记AC中点为D，连接，记交点为E，连接EQ，
则，四点共面，
因为P，D分别为的中点，所以E为的重心，即E为PC的三等分点，
又Q为BC中点，所以不平行，
因为平面PBC，平面平面，
所以由线面平行性质定理可知与平面不平行，A错误；
连接，因为
所以
因为Q为BC中点，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，B正确；
因为平面，平面，所以，
又，所以，所以四边形为矩形，面积为，
又因为，
所以三棱柱的侧面积为，C错误；

记的中点为H，连接，
因为，平面，平面，
所以平面，所以点P，A到平面的距离相等，四点共面，
又，Q为BC中点，
所以
因为平面，平面，所以BQ三棱锥的高，且因为，
所以
所以，所以
所以，故D正确.
故选：BD
7．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，点为的中点，则（ ）

A．圆台的体积为B．圆台的侧面积为
C．圆台母线与底面所成角为D．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为5
【答案】ACD
【分析】根据已知求体积;过作交底面于F，判断出即为母线与底面所成角；作出圆台的侧面展开图，直接求出面积；圆台的侧面上，判断出从到的最短路径的长度为CE,等逐个判断即可求解.
【详解】对于A：圆台的高为，则圆台的体积，A正确；
对于B：由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，

其面积为．故B错误；
对于C：过作交底面于，则底面，所以即为母线与底面所成角．

在等腰梯形中，，所以．
因为为锐角，所以．故C正确；
对于D：如图示，在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为．由题意可得：
．由为中点，所以，所以．故D正确．

故选：ACD.
8．（2023·福建·校联考模拟预测）等腰梯形的上下底边之比为，若绕该梯形的对称轴旋转一周所得几何体的表面积为，则该梯形的周长可能为（ ）
A．B．8C．D．16
【答案】CD
【分析】设圆台上下底面半径分别为，，母线长，根据圆台表面积公式得，结合基本不等式可求该梯形的周长得最小值，从而可得答案.
【详解】等腰梯形绕对称轴旋转一周所得几何体是圆台，设其上下底面半径分别为，，母线长，
则表面积，由此得，
于是梯形周长，
当且仅当时取等号,故则该梯形的周长最小值为.
故选：CD.
三、填空题
9．（2023·吉林白山·统考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，P为的中点，则三棱锥的体积为 ．

【答案】2
【分析】先求三棱锥的高，再应用体积公式求解计算即可.
【详解】连接，在正方体中，
因为四边形为正方形，则，而平面，平面，
即有，又，平面，平面，则平面，
而平面，因此，同理平面，又平面，
即有，因为，平面,平面，
所以平面．
连接，设，连接OP，则OP是的中位线，
所以，，
所以OP⊥平面，即OP是三棱锥的高．
因为，所以．

因为，所以．
故答案为：2.
10．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，棱长为2的正方体容器中，，分别是棱，的中点，在，，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为 .

【答案】6
【分析】分类讨论水平面经过点，，的个数，结合体积公式以及基本不等式运算求解.
【详解】1.当，，处的小孔都在水平面时，如图一，

三棱台的体积为，
所以容器所装水的多面体的体积；
2.当只有1个小孔在水平面上方时，
（1）当处的小孔在水平面上方时，如图二；
当处的小孔在水平面上方时，图三；
显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大；

（2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为，
①当在线段上时，如图四，设，，则，
因为正方体的体积为，
棱台的体积为，，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于6.

②当在线段上时，如图五，设，，的中点为，

可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同，
可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同，
所以三棱柱的体积为，此时该容器可装水的体积为.
综上所述：该容器可装水的最大体积为6.
故答案为：6.
【点睛】关键点睛：分类讨论水平面经过点，，的个数，结合图形分析求解.
【真题感知】
一、单选题
1．（全国·高考真题）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】在长方体中，连接，

根据线面角的定义可知，
因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
2．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23B．24C．26D．27
【答案】D
【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.
【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，则,
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.
故选：D.
3．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比.
【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.

因为平面，平面，所以平面平面.
又因为平面平面，，平面，所以平面，且.
在中，因为，所以，所以，
在中，因为，所以，
所以.
故选：B
4．（重庆·高考真题）在体积为1的三棱锥侧棱AB､AC､AD上分别取点E､F､G，使，记O为三平面BCG､CDE､DBF的交点，则三棱锥的体积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出图形，三棱锥的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推到，求出比例即可．
【详解】解：如下图（下图为图1）
是平面与平面的交线，是平面与平面的交线，
因为为三平面，，的交点，所以，
则与的交点即为，
作平面于，平面于，平面于，
设到平面的距离为，则有题意可得；
在平面中，如下图：
连接，则，所以，所以，
因为，所以，，所以，
，
于是有，所以结合图1中线面关系可得，则；
同理有，即；
平面中，如下图：
则可得，则，所以；
所以，结合图1中线面关系可得，则；
所以由图1可知：，所以，
故选：C.
二、填空题
5．（2021·全国·高考真题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为 .
【答案】
【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】∵
∴
∴
∴.
故答案为：.
6．（2020·江苏·统考高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.
【答案】
【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
【详解】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
故答案为：
【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行
侧棱
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
平行、相等且垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面
展开图
矩形
扇形
扇环
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底·h
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)S底·h
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
等级
24h降雨量（精确到0.1）
……
……
小雨
0.1~9.9
中雨
10.0~24.9
大雨
25.0~49.9
暴雨
50.0~99.9
……
……