新高考数学一轮复习精品讲练测第8章第03讲 圆中的切线问题及圆系方程（培优）（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
一、圆中切线问题
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;
已知圆方程为圆:.
(1)过圆上的点的切线方程为.
(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.
4. 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度
一般方程(标准方程)
二、常见的圆系方程
1、同心圆圆系
(1)以为圆心的同心圆圆系方程:;
(2)与圆同心圆的圆系方程为:;
2、过线圆交点的圆系
过直线与圆交点的圆系方程为:
;
3、过两圆交点的圆系
过两圆
交点的圆系方程为,此圆系不含)
(1)特别地,当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.
(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:
考点一、圆中切线问题
1．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）过圆上点的切线方程为 ．
【答案】
【分析】由圆的切线性质求出切线斜率，利用点斜式方程即可得.
【详解】由题知，，则切线斜率，
所以切线方程为，整理为．
故答案为：
2．（2023·江苏·高三专题练习）过点引圆切线，则切线长是 .
【答案】3
【分析】根据切线的垂直关系即可由勾股定理求解.
【详解】把圆的方程化为标准方程得：，
得到圆心坐标为，圆的半径，
，
切线长是，
故答案为：3
3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是 .
【答案】
【分析】求出以 为直径的圆的方程, 将两圆的方程相减, 即可求解.
【详解】圆 的圆心为 , 半径为 2，
以 为直径的圆的方程为 ,
将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程 .
故答案为: .
4．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】设，利用与圆的关系，得到，，进而得到点均在以为直径的圆上，进而得到圆的方程，则直线为两圆的公共弦，进而可求出直线以及该直线所过的定点，即可求得的最小值
【详解】设，则有①，
又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，，
则点均在以为直径的圆上，设的中点为，
则圆的方程为，
化简得；
直线即为两圆的公共弦，所以对于和，
两式相减可得直线的方程为，
由①可得，，整理得，
由得
故直线过定点，
因为，说明在圆内，
当时，此时最小，为
故答案为：
5．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用圆的切线长公式，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心，半径，
设切点为，因为，可得，
所以切线长为.
故答案为：.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是 .
【答案】
【分析】先求得的方程，再根据圆心到切线的距离，半径和切线长的勾股定理求最小值即可
【详解】由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，即.又到的距离，故切线长的最小值是
故答案为：
1．（2023秋·四川成都·高三成都外国语学校校考期末）已知直线是圆在点处的切线，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出切线方程，对斜率k是否存在进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线l：，此时，圆心到直线的距离为3