新高考数学一轮复习精品讲练测第8章第11讲 圆锥曲线中的中点弦问题（培优）（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
椭圆中点弦斜率公式
(1) 若 为椭圆 弦 的中点, 有
.
(2) 若 为椭圆 弦 的中点, 有
.
双曲线的中点弦斜率公式
(1) 若 为双曲线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则
(2) 若 为双曲线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则
3. 抛物线的中点弦斜率公式
(1) 若 为抛物线 弦 不平行 轴 的中点, 则
(2) 若 为抛物线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则
4. 中点弦斜率拓展
在椭圆 中, 以 为中点的弦所在直线的斜率 ;
在双曲线 中, 以 为中点的弦所在直线的斜率 ;
在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率
5. 椭圆其他斜率形式拓展
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有
椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有
点差法妙解中点弦问题
若设直线与圆锥曲线的交点 ( 弦的端点 ) 坐标为 ,
将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子, 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
（1） 设点: 若 是椭圆 上不重合的两点,则
（2） 作差: 两式相减得 ,
（3）表斜率: 是直线 的斜率 是线段 的中点 ,
化简可得 , 此种方法为点差法。
考点一、椭圆中的中点弦问题
1．（全国·高考真题）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
2．（重庆·高考真题）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为 ．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
4．（全国·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
5．（浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考模拟预测）已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
3．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）（多选）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则（ ）
A．直线的方程为B．
C．椭圆的标准方程为D．椭圆的离心率为
5．（2023·江西吉安·江西省峡江中学校考一模）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．
6．（2023·重庆·统考一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，O为坐标原点，A为椭圆C上顶点，过平行于的直线与椭圆交于B，C两点， M为弦BC的中点且直线的斜率与OM的斜率乘积为，则椭圆C的离心率为 ；若，则直线的方程为 ．
考点二、双曲线中的中点弦问题
1．（江苏·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A．B．
C．D．
2．（全国·高考真题）已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过F的直线 与相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则的方程式为
A．B．C．D．
3．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
4．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，点在上
（1）求的方程
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
1．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
2．（2022·山东烟台·统考三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
3．（2022·上海青浦·统考一模）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是 .
4．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 .
5．（2022·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则 ．
考点三、抛物线中的中点弦问题
1．（四川·高考真题）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（ ）
A．3B．4C．D．
2．（山东·高考真题）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A．B．
C．D．
3．（北京·高考真题）已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合(如图).
（1）写出该抛物线的方程和焦点的坐标；
（2）求线段中点的坐标；
（3）求所在直线的方程.
1．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陕西咸阳·统考二模）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是 ．
3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
4．（2023·云南红河·校考模拟预测）已知抛物线，过点的直线l交C于M，N两点．
(1)当点A平分线段时，求直线l的方程；
(2)已知点，过点的直线交C于P，Q两点，证明：．
【能力提升】
1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳江油中学校考模拟预测）已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）已知m，n，s，t为正数，，，其中m，n是常数，且s＋t的最小值是，点M(m,n)是曲线的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）
A．x－4y＋6=0B．4x－y－6=0
C．4x＋y－10=0D．
6．（2023·四川雅安·统考三模）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ．
8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ．
9．（2023·安徽合肥·校考一模）已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是 .
10．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，且，则直线l的斜率为 ．
11．（2023·安徽滁州·校考二模）已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是 .
12．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2B．C．D．
13．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，在双曲线上，且点为线段的中点，，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A，B两点，若直线l不与x轴垂直，且，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·浙江绍兴·统考模拟预测）已知双曲线，直线l交双曲线两条渐近线于点A、B，M为线段的中点，设直线l、的斜率分别为，若，则渐近线方程为 ．
18．（2023·河南开封·统考三模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为 ．
19．（2023·陕西商洛·统考三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为 .
20．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A．B．4C．D．
21．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于、两点，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，抛物线的准线上一点满足，则（ ）
A．B．C．5D．6
23．（2023·重庆·校联考模拟预测）（多选）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：
24．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）（多选）抛物线为定值焦点为，与直线相交于两点，为中点.过作轴的垂线，垂足为，过作的垂线，交轴于，则（ ）
A．
B．的纵坐标是定值
C．为定值
D．存在唯一的使得
25．（2023·安徽宿州·统考一模）若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为 .
26．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ．
27．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则 .
28．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
29．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）已知为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为 .
30．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知抛物线，点在E上.
(1)求E的方程；
(2)设动直线l交E于A，B两点，点P，Q在E上，且，若直线l始终平分弦PQ，求点P的坐标.
【真题感知】
1．（上海·高考真题）已知椭圆C的焦点，且长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标
2．（陕西·高考真题）设椭圆C：过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．