苏科版数学八上期末专题复习 实数章末重难点题型（2份，原卷版+解析版）

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考点一 求一个数的算术平方根
考点二 根据算术平方根的非负性解题
考点三 平方根的应用
考点四 求一个数的立方根
考点五 立方根的应用
考点六 实数的大小比较
考点七 新定义下的实数运算
考点八 与实数运算相关的规律题
【考点一 求一个数的算术平方根】
【例题1】已知方程组的解满足，则k的算术平方根为（ ）
A．±2B．2C．－2D．4
【变式1-1】若一个三角形的三边长为、、，则使此三角形是直角三角形的的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【变式1-2】若，满足，则的算术平方根为___________.
【变式1-3】若单项式与可以合并成一项，则的算术平方根是______．
【变式1-4】已知的平方根为，的算术平方根为2．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【考点二 根据算术平方根的非负性解题】
【例题2】已知+|b﹣1|＝0，那么的值为（ ）
A．﹣1B．1C．32022D．﹣32022
【变式2-1】若实数x满足，则（ ）
A．x＝2或－1B．2≥x≥－1C．x＝2D．x＝－1
【变式2-2】已知： ，那么的值等于___________.
【变式2-3】若x，y为实数，且∣x－2∣＋＝0，则的值为___________．
【变式2-4】已知：|a+2|+=0，
(1)求a，b的值；
(2)先化简，再求值：
【考点三 平方根的应用】
【例题3】如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A．B．C．1+D．+2
【变式3-1】已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（ ）
A．﹣485.8B．﹣48.58C．﹣153.6D．﹣1536
【变式3-2】一个正数的平方根分别是和2x+5，则这个正数是______
【变式3-3】如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的边长是___________．
【变式3-4】如图，用两个边长为cm的小正方形拼成一个大的正方形．
(1)求大正方形的边长：
(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48？
【考点四 求一个数的平方根】
【例题4】如表是李小聪的数学测试答卷，他的得分应是（ ）
A．120分B．100分C．80分D．60分
【变式4-1】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】如图，数轴上点A表示的数为x，则的立方根是______．
【变式4-3】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由，，确定是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是______．
【变式4-4】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．
(1)将a，b，c，0由大到小排列（用“”连接）__________________；
(2)______0；______0（填写“”，“”，“”）
(3)试化简：
【考点五 立方根的应用】
【例题5】有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是（ ）
A．4B．C．2D．
【变式5-1】已知，则a的值为( )
A．B．0或±1C．0D．0，±1或
【变式5-2】如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．把正方形放到数轴上，如图2，使点与-2重合，那么点在数轴上表示的数为___________．
【变式5-3】我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
【变式5-4】你知道怎样迅速准确地计算出195112的立方根是多少吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，，推出是______位数；
（2）由195112的个位数是2，推出的个位数是______；
（3）如果划去195112后面的三位112，得到195，而，，推出的十位数是______，所以，______．
【考点六 实数的大小比较】
【例题6】已知，，，…，均为负数，则，，则M与N的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【变式6-1】如图1和2，两个圆的半径相等，O1、O2分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，那么S1与S2之间的大小关系是（ ）
A．S1＜S2B．S1＝S2C．S1＞S2D．不能确定
【变式6-2】比较大小：___．（填“”或“”）
【变式6-3】已知表示取三个数中最小的数．例如：当时，，当时，则______．
【变式6-4】阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则，上面的规律，反过来也成立．课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小： ___________＋； （填“＜”，“=”或“>"）
(2)已知，且，若，， 试比较A和B的大小.
【考点七 新定义下的实数运算】
【例题7】对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如(﹣2)⊕3=3，(﹣2)⊗3=﹣2，[(﹣2)⊕3] ⊗2=2，那么(⊕2)⊗的值为（ ）
A．2B．C．3D．3
【变式7-1】规定不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，，．下列说法：①；②；③（a为正整数）；④若n为正整数，且，则n的最小值为6，其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式7-2】对于任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，则______．
【变式7-3】如果无理数的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中、为连续正整数），我们则称无理数的“雅区间”为．例：，所以的“雅区间”为．若某一无理数的“雅区间”为，且满足，其中，是关于、的二元一次方程组的一组正整数解，则______．
【变式7-4】阅读下列材料，并回答问题：
人们把形如与（a，b为有理数且b不等于0，m为正整数且开方开不尽）的两个数称为共轭实数
(1)请你举出一对共轭实数
(2)与是共轭实数吗？与是共轭实数吗？
(3)共轭实数与是有理数还是无理数？
(4)你发现共轭实数与的和，差是有理数还是无理数？
【考点八 与实数运算相关的规律题】
【例题8】有一列数，，，，…，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若，则的值为 （ ）
A．2B．C．D．2021
【变式8-1】若，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】观察下列各式：
，，，……
请利用你所发现的规律，计算，其结果为___________．
【变式8-3】将1、、、按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是 _____．
【变式8-4】已知，
(1)观察上式得出规律，则 ， ．
(2)若的值．
(3)由（2）中、的值，求的值．
【亮点训练】
1．的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．下列运算中，①，②，③，④．错误的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列说法：（1）任何一个数都有两个平方根，它们互为相反数；（2）数a的平方根是±；（3）的算术平方根是2；（4）负数不能开平方； （5），其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出的y的值为（ ）．
A．4B．C．2D．1
5．如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…依此法继续作下去，得等于（ ）
A．B．C．D．
6．若，则____________．
7．已知．
（1）x的值为_____；
（2）x的算术平方根为_____．
8．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有x，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知π，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于3.1404＜π，再由π，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数．现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为 _____．
9．若符号[a，b]表示a，b两数中较大的一个数，符号（a，b）表示a，b两数中较小的一个数，则计算的结果是______．
10．高斯是德国著名数学家，被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：函数y=[x]，也称为取整函数，即[x]表示不大于x的最大整数，如[-2.5]=-3，[3.14]=3，根据这个规定：
（1）[-+1]=_________；
（2）若[]=2022，则x的取值范围是__________．
11．实数，，在数轴上的对应点如图所示，其中是原点，且；
化简：
12．（1）已知，，是的算术平方根，求的值；
（2）已知，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
13．如图，∠BAD=∠CAE=，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度数；
(3)若DE=a，CD=b，并且，求DB的长度．
14．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．
请解答：
如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
15．阅读材料，并解答问题：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如图①，在直角三角形中，，，，，斜边，为了比较与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究．
(1)小伍同学利用计算器得到了，．故____．（填“”“ ”或“”
(2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图②所示的图形，其中，，点在上，且．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较和的大小．
姓名：李小聪得分：？
填空（每小题20分，共120分）
①﹣0.5的绝对值是（）．
②2的倒数是（﹣2）．
③﹣0．8的相反数是（0.8）．
④﹣1的立方根是（﹣1）．
⑤算术平方根是它本身的数是（1）．
⑥的算术平方根是（8）．