苏科版（2024）八年级上册4.3 实数课后测评

这是一份苏科版（2024）八年级上册4.3 实数课后测评，文件包含苏科版数学八上同步讲练专题42实数及实数运算原卷版doc、苏科版数学八上同步讲练专题42实数及实数运算解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
1、实数的概念和实数的分类；
2、实数与数轴上点的关系。
3、掌握实数的运算性质和运算律。
4、了解近似数及估算。
【教学重难点】
1、实数的分类；
2、实数与数轴上点的关系。
3、掌握实数的运算性质和运算律。
【知识亮解】
知识点一：实数（1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
（2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数。
（3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数。
1. 实数的分类
（4）实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
2. 无理数的概念
无限不循环小数称为无理数。
人们已经证明是一个无限不循环小数，它的值为1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7…
，，，，，等都是无理数。
亮题一：实数的分类
【例1】★在3.14、、、、、2π、0.2020020002这六个数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例2】★把下列各数分别填入相应的集合内：
…
有理数集合
…
无理数集合
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
亮题二：实数与数轴
【例3】★如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为（ ）
A．B．C．D．﹣1
【例4】★★如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的边长为 ．
（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是 ．
（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．
【例5】★★在数学活动中，我们发现了一些有趣的现象，可以用图形来解决一些数的问题现象一：如图（1）所示，5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．
（1）请求出图中阴影部分正方形的面积和边长，并用直尺和圆规把边长表示的数在数轴上表示出来．
现象二：为求…的值，设计了如图（2）所示的几何图形．
（2）请你利用这个几何图形求…的值为 ．（结果保留n）
请你利用图（2）再设计一个能求…的值的几何图形．
知识点二：实数的大小比较
1、实数的倒数、相反数和绝对值
（1）相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同绝对值相同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
（2）绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值既可以看成是它本身，也可看成它的相反数。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
（3）倒数
如果ab=1，则a与b互为倒数，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
2、数轴和实数大小比较
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
比较大小时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，

（3）求商比较法：设a、b是两正实数
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
亮题三：实数比较大小
【方法点拨】实数大小比较常见方法有：倒数法、作差法、作商法、放缩法、两边平方法等等.
题模一：作差法
【例6】★比较与的大小．
题模二：作商法
【例7】★比较与的大小．
题模三：倒数法
【例8】★比较与的大小．
题模四：平方法
【例9】★比较与的大小．
题模五：特殊值法
【例10】★若0＜x＜1，则x，x2，x3的大小关系是____
A．x＜x2＜x3 B．x＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x D．x2＜x3＜x
知识点三：实数的运算
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么？
有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？
相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作: an
9、有理数乘方运算的法则是什么？
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？
去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
亮题四：实数的运算化简
【例11】★计算：．
【例12】★a，b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式﹣x2+cdx﹣的值．
【例13】★已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的算术平方根等于它本身，p是平方根等于本身的实数，求p2019+m2的值．
【例14】★实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：|a+b|﹣﹣．
知识点四：近似数
1. 取一个数的近似数有多种方法,四舍五入 是最常用的一种方法
例如:圆周率π=3.1415926﹍
若精确到个位 (或精确到1),则π ≈3
若精确到十分位 (或精确到0.1),则π ≈3.1
若精确到百分位 (或精确到0.1),则π ≈3.14
若精确到千分位 (或精确到0.1),则π ≈3.142
π若精确到十分位 ,则π ≈3.1
也可以说成: π保留2个有效数字:3、1
2.有效数字定义:
对一个近似数，从左面第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
例 如 ：3.14有3个有效数字,分别是3、1、4；0.010320有 5 个有效数字,分别是1、0、3、2、0.
亮题五：近似数及估算
【例15】★用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.
(1)0.0198 (精确到0.001)； (2)0.34082(精确到千分位)；
(3)64.49 (精确到个位)； （4）（精确到0.01）；
【例16】★测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他身高的精确值x所在范围是___________________．
【例17】★已知2a－1的算术平方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4，c是 的整数部分，求a＋2b－c的平方根.
【例18】★★★阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值.
小明的方法：
∵，设（）.∴.
∴.∴.解得 .∴.
问题：（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数、、，若，且，则__________(用含、的代数式表示)；
（3）请用（2）中的结论估算的近似值.
【亮点训练】
1．如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（ ）
A．A，O之间B．B，C之间C．C，D之间D．O，B之间
2．如图是小刚同学完成的作业，每题20分，他的得分是（ ）
A．20分B．40分C．60分D．80分
3．满足的整数x的个数是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
4．已知a，b分别是6+的整数部分和小数部分，则a+3b＝（ ）
A．12B．13C．D．3
5．已知，，，，，，，…，请你推测的个位数字是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，点在边上，，点，在边上，，若，则（ ）
A．3.5B．3C．2.5D．2
7．比较大小：①______；②______．
8．若a和b为两个连续整数，且a＜﹣＜b，则a﹣b值是 _____．
9．已知的小数部分为m，的小数部分为n，则=___________.
10．如果x为的小数部分，那么代数式的值为______．
11．在实数范围内定义运算“♥”：，例如：．若，且，则的值是______．
12．对于正整数k定义一种运算：f（k）=例：f（2）=-，表示不超过x的最大整数，例：［3.7］=3，［-1.5］=-2. ①f（2）=0；②f（k）=0或1；③f（k＋1）≥f（k）；④f（k＋4）=f（k），则正确的结论有____________（请填写序号）.
13．（1）计算：
（2）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
14．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根．
15．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的圈3次方”，记作读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”．
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：__________，__________．
(2)关于除方，下列说法错误的是（ ）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．对于任何正整数，
C．
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？．
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式__________
(4)想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式=__________
(5)算一算：；
【培优检测】
1．估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
2．有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不含根号的数一定是有理数；③负数没有平方根；④是17的平方根．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
3．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（ ）
A．B．C．D．
4．求的值，可令，则，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1.参照以上推理，计算的值为（ ）
A．42020﹣1B．42020﹣4C．D．
5．若干个数，第一个数记为，规定运算：，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A．B．C．D．3
6．计算________．
7．设的整数部分为a，小数部分为b，求8ab-8的立方根为________．
8．对，定义一种新运算“”，规定：（其中 ， 均为非零常数），若 ，．则 的值是____．
9．取整函数就是f(x)=[x]，也被称为高斯函数，记号[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]=2，[﹣4.7]=﹣5，若S=1＋，则[S]=______．
10．定义新运算“△”：对于任意实数a，b都有．
（1）若的值不大于3，则x的取值范围是________；
（2）若的值大于3且小于9，则m的整数值是_______．
11．计算：
(1)；
(2)．
12．对于任意有理数a，b，定义一种新的运算“*”：a*b=2ab－3，如2*3=2×2×3－3=9．
(1)求（－2）*3的值
(2)求（－3）*（2*4）的值
13．如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题．
(1)当x为8时，y的值为______．
(2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值．
(3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
14．阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则，上面的规律，反过来也成立．课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小： ___________＋； （填“＜”，“=”或“>"）
(2)已知，且，若，， 试比较A和B的大小.
15．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式计算下面的题.
例如：求3－2的算术平方根.
解：
∴3－2的算术平方根是－1
回答下面的问题：
(1).
(2)
(3)
判断.（正确的画“√”，错误的画“×”）
①的平方根是5；（√） ②算术平方根等于它本身的有0，1，；（×）
③64的立方根是；（×） ④估计的值在2到3之间.（√）