新高考数学二轮培优训练专题16 圆锥曲线中的椭圆问题（2份，原卷版+解析版）

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1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
3、（2023年全国甲卷数学（文））设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
4、（2023年全国甲卷数学（理））己知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
5、【2022年全国甲卷】已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
6、【2022年全国甲卷】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：，
设，则，
则，
故，
又，则，
所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
7、【2022年新高考1卷】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
8、【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【答案】
【解析】：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
题组一、椭圆的离心率
1-1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用数量积知识得，然后利用第一定义及勾股定理得到a、c关系，即可求出离心率
【详解】由，得，则点P是以为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在第一象限，如图
连接，令，则，，．
因为，所以，即，得，又，所以，将代入，得．
故选：A.
1-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为(-c，0)，(c，0)，若椭圆C上存在一点M使得的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用的面积相等，得到，得到，消去b，整理化简求出离心率的取值范围.
【详解】的面积为.
因为的内切圆半径为，所以的面积可表示为.
所以，所以.
因为，所以.
两边平方得：，
而，所以，整理得：,
因为离心率，所以，解得：.
故选：A.
1-3、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
【详解】抛物线的准线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
则有
∴，，，
∴．
故选D．
1-4、（2022·山东淄博·高三期末）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，设
因为，所以，
所以，得，即，
因为点在椭圆上，
所以，化简得，
所以离心率，
故选：A
题组二、椭圆性质的综合性问题
2-1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）（多选题）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为2
【答案】ABC
【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A；
根据离心率求出，则，即可判断B；
设上顶点，得到，即可判断C；
根据利用基本不等式判断D.
【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，故C正确；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，故D不正确．
故选：ABC
2-2、（2022·河北张家口·高三期末）（多选题）已知为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆交于两点，过点向轴作垂线，垂足为，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．四边形的周长一定是
C．点与焦点重合时，四边形的面积最大
D．直线的斜率为
【答案】ABD
【解析】由的方程可得离心率为，故A正确；
由椭圆定义可知，，同理，，
所以四边形的周长一定是，故B正确；
四边形的面积，
当点与焦点重合时，，此时四边形的面积，故C错误；
设，故，则，故D正确.
故选：ABD
2-3、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为B．当最大时，
C．椭圆离心率为D．面积最大值为
【答案】BC
【解析】由题意：，根据椭圆的定义可知，，则的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，如图：
将代入椭圆方程得：，则.
所以短轴长为，A错误；此时，B正确；，C正确；
对D，设，，代入椭圆方程得：，则，
所以，记，于是，由对勾函数的图象和性质可知：函数在上是增函数，则函数在上是减函数.于是，当u=1，即t=0时，面积最大值为.故D错误.
故选：BC.
1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）曲线的方程是，则曲线的形状是（ ）
A．圆B．椭圆C．线段D．直线
【答案】B
【解析】方程表示动点到两定点的距离之和为4．而，因此的轨迹是以为焦点的椭圆．
故选：B．
2、(2022·江苏如皋期初考试)椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长B．有相等的离心率
C．有相同的焦点D．有相等的焦距
【答案】D
【解析】由题意，对于椭圆EQ \F(x\S(2),25)＋\F(y\S(2),9)＝1，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝EQ \R(,25－9)＝4，则离心率e＝EQ \F(c,a)＝EQ \F(4,5)，对于椭圆EQ \F(x\S(2),9－k)＋\F(y\S(2),25－k)＝1，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝EQ \R(,25－k)≠5，b＝EQ \R(,9－k)≠3，所以c＝EQ \R(,25－k－(9－k))＝4，则离心率e＝EQ \F(c,a)＝EQ \F(4,\R(,25－k))≠EQ \F(4,5)，故选项D正确，其他选项错误；所以答案选D.
3、（2022·山师大附中高三模拟）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，
设椭圆的左焦点为，连接，．
则四边形为矩形．
因此．．所以，．
．，
，，
，
其中，
．．
故选：A．
4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用数量积知识得，然后利用第一定义及勾股定理得到a、c关系，即可求出离心率
【详解】由，得，则点P是以为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在第一象限，如图
连接，令，则，，．
因为，所以，即，得，又，所以，将代入，得．
故选：A.
5、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为(-c，0)，(c，0)，若椭圆C上存在一点M使得的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用的面积相等，得到，得到，消去b，整理化简求出离心率的取值范围.
【详解】的面积为.
因为的内切圆半径为，所以的面积可表示为.
所以，所以.
因为，所以.
两边平方得：，
而，所以，整理得：,
因为离心率，所以，解得：.
故选：A.
6、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为9，则离心率=______.
【答案】
【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出离心率
【详解】由A，B两点在直线上，设，
因为A，B两点关于原点对称，所以，
由A，B两点的横坐标之积为9得，解得，所以，
代入双曲线方程得，所以，
所以，所以离心率为.
故答案为：