新高考数学二轮培优训练专题23 离散型随机变量的概率（2份，原卷版+解析版）

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1、（2023年全国甲卷数学（理））有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
【答案】A
【详解】报名两个俱乐部的人数为，
记“某人报足球俱乐部”为事件,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件，
则，
所以.
故选:.
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
单次传输发送0，则译码为0的概率，而，
因此，即，D正确.
故选：ABD
3、（2023年新高考天津卷）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
【答案】 /
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，
所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；
甲盒中黑球个数为，白球个数为；
甲盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，
黑球总共有个，白球共有个，
所以，．
故答案为：；．
4、（2023年新课标全国Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
5、（2023年新课标全国Ⅱ卷）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；
(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
【答案】(1)，；
(2)，最小值为．
【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，
所以，解得：，
．
（2）当时，
；
当时，
,
故，
所以在区间的最小值为．
6、【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为
则
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
7、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【解析】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
题组一、正态分布
1-1、（2023·重庆·统考三模）已知随机变量，若，则______．
【答案】/
【详解】由已知可得，，
根据正态分布的对称性可得，，
所以，.
故答案为：.
1-2、（2023·浙江·校联考三模）已知随机变量服从正态分布，若，则_____________．
【答案】
【详解】，为正态分布曲线的对称轴，
由得：.
故答案为：.
1-3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模（多选题）已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．若，则
C．D．随机变量满足，则
【答案】ABC
【分析】根据正态分布的定义求数学期望和方差求解A，再根据正态分布密度曲线的对称性可求解相应的概率求解B,C，再根据变量关系的期望公式可求解D.
【详解】因为,所以，，A正确；
因为，所以，B正确；
因为，所以，C正确；
因为，所以，
所以,D错误，
故选：ABC.
题组二、二项分布
2-1、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）（多选题）若随机变量，下列说法中正确的是（ ）
A．B．期望
C．期望D．方差
【答案】BCD
【详解】A选项：因，所以，故A错误.
B选项：，故B正确.
C选项：，故C正确.
D选项：，，故D正确.
故选：BCD.
2-2、（2021·山东滨州市·高三二模）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.
【解析】（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为，
恰好打了6局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为.
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
.
所以X的分布列如下：
故.
2-3、（2023·河南·校联考模拟预测）某车间购置了三台机器，这种机器每年需要一定次数的维修，现统计了100台这种机器一年内维修的次数，其中每年维修2次的有40台，每年维修3次的有60台，用代表这三台机器每年共需要维修的次数.
(1)以频率估计概率，求的分布列与数学期望；
(2)维修厂家有两家，假设每次仅维修一台机器，其中厂家单次维修费用是550元，厂家对同一车间的维修情况进行记录，前5次维修费用是每次600元，后续维修费用每次递减100元，从每年的维修费用的期望角度来看，选择哪家厂家维修更加节省？
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)选择厂家更加节省
【详解】（1）以频率估计概率，一台机器每年需要维修2次的概率为，需要维修3次的概率为，
设为这三台机器每年单个需要维修三次的台数，
则，且，
所以，
.
所以的分布列为
则.
（2）选择厂家每年维修费用的期望为（元），
选择厂家每年维修费用的期望为（元），
因为，所以选择厂家更加节省.
题组三、条件概率
3-1、（2023·广东佛山·统考模拟预测）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立B．事件A与C为互斥事件
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以，
因为，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C
3-2、（2023·河南·襄城高中校联考三模）2022年卡塔尔世界杯上，32支球队分成8个小组，每个小组的前两名才能出线，晋级到决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二的概率为0.3；若获得小组第一，则决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则决赛获胜的概率为0.3．那么在已知该队小组出线的条件下，其决赛获胜的概率为（ ）
A．0.54B．0.63C．0.7D．0.9
【答案】C
【详解】设该队小组出线为事件A，该队决赛获胜为事件B，
则，，
所以．
故选：C .
3-3、（2023·山东德州·三模）某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率_________．（结果用分数表示）
附参考数据：，；
【答案】
【详解】由题知，
事件为“记该同学的成绩”，
因为，，
所以，
又，
所以.
故答案为：
3-4、（2023·山东聊城·统考三模）已知甲箱、乙箱均有6件产品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．
(1)现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱，再从乙箱中随机抽取一件产品，求从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；
(2)现需要通过检测将甲箱中的次品找出来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到能将次品全部找出时检测结束，已知每检测一件产品需要费用15元，设表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）设“从甲箱中抽取的两件产品均为正品”，“从甲箱中抽取的两件产品为一件正品，一件次品”，“从甲箱中抽取的两件产品均为次品”，“从乙箱中抽取的一件产品为次品”，由全概率公式，
得
．
（2）的所有可能取值为30，45，60，75．
则；
；
；
．
所以的分布列为
的数学期望（元）
题组四、离散型随机变量的均值与方差
4-1、（2023·山东济南·统考三模）某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛和决赛.
(1)下表为某10位同学预赛成绩：
求该10位同学预赛成绩的上四分位数（第75百分位数）和平均数；
(2)决赛共有编号为的5道题，学生甲按照的顺序依次作答，答对的概率依次为，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记为比赛结束时学生甲已作答的题数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)上四分位数：96，平均数：
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【详解】（1）因为，所以上四分位数为第八个成绩，为96；
平均数为.
（2）由题意可知的取值为，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
.
4-2、（2023·安徽铜陵·统考三模）某校承接了2023年某大型考试的笔试工作，考试前，学校将高二年级的201~205五个班级内部的墙壁装饰画取下后打包，统一放置，考试结束后再恢复原位.学校安排了三位校工甲、乙、丙进行该项工作，每位校工至少负责一个班级的装饰画复原工作.已知每位校工能够完全还原一个班级装饰画的概率均为，并且他们之间的工作相互独立.
(1)求校工甲将自己负责的所有班级的装饰画完全还原的概率；
(2)设校工乙能够完全还原的班级数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）设事件：甲分的班级数为个（，2，3），事件：甲完成班级的装饰画复原.
∴，，
，又，
所以.
（2）又题意可知的可能取值为0，1，2，3
所以的分布列为：
.
4-3、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．
(1)求甲班在项目A中获胜的概率；
(2)设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即可；
（2）先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望
【详解】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，
则，
所以甲班在项目A中获胜的概率为
（2）记“甲班在项目B中获胜”为事件B，
则，
X的可能取值为0，1，2，
则，
，
．
所以X的分布列为
．
所以甲班获胜的项目个数的数学期望为.
题组五、概率中的最值问题
5-1、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.
(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即.
(i)求的取值范围；
(ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；（ii）证明见解析，比赛局数越多，对实力较强者越有利
【详解】（1），即采用3局2胜制，所有可能取值为，
，
的分布列如下表：
所以的数学期望为.
（2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：
，
采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：
，
，
得.
（ii）由（i）知.
局比赛中恰好甲赢了局的概率为，
局比赛中恰好甲赢了局的概率为，
则局比赛中甲至少赢局的概率为.
考虑局比赛的前局：
如果这局比赛甲至少赢局，则无论后面结果如何都胜利，其概率为，
如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场至少赢一局，其概率为，
如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场都赢，其概率为，
因此局里甲最终获胜的概率为：，
因此，即数列单调递增.
该结论的实际意义是：比赛局数越多，对实力较强者越有利.
5-2、（2023·浙江温州·统考三模）某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.
(1)记甲同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求；
(2)若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)4
【详解】（1）由题意，可取0，1，2，3，4.
,
，
，
，
，
则的分布列为：
.
（2）每一轮获得纪念章的概率为，
每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，
设10轮答题获得纪念章的数量为，则，
，.
由，得，
解得，又，得，则获得4枚纪念章的概率最大.
1、（2022·山东莱西·高三期末）设随机变量，，，则下列结论正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，根据正态分布曲线的对称性可得，
所以
又，所以且
所以
故选：D
2、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（ ）
(附：，则，)
A．36014B．72027C．108041D．168222
【答案】B
【解析】，，
，，
，
这些考生成绩落在的人数约为.
故选：B.
3、（2023·山西运城·统考三模）（多选）已知某校高二男生的身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，16），且，则（ ）
A．该校高二男生的平均身高是175cm
B．该校高二男生身高的方差为4
C．该校高二男生中身高超过183cm的人数超过总数的3%
D．从该校高二男生中任选一人，身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等
【答案】AD
【详解】对选项A：在中，为平均数，正确；
对选项B：方差为，错误；
对选项C：，则身高超过的概率，错误；
对选项D：正态曲线关于直线对称，所以身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等，正确；
故选：AD
4、（2023·辽宁大连·统考三模）已知随机变量，且，则__________.
【答案】
【详解】因为随机变量，且，
则，解得：，
.
故答案为：.
5、（2023·江苏南通·三模）随机变量，则__________.
【答案】/
【详解】因为随机变量，
所以，
所以，
所以标准差，
故答案为：.
6、（2023·福建泉州·统考三模）设随机变量，若，则____________．
【答案】/
【详解】因为随机变量，且，
所以，.
故答案为：.
7、（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为____________．
【答案】
【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
则，，，，，，
任取一个零件是次品的概率为
如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为
.
故答案为：.
8、（2023·江苏·统考三模）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级：原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．
(1)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(2)从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
∴的分布列如下：
．
（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，
．
9、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则､､彼此互斥，求出相关的概率，再根据条件概率求解即可.
【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2，
，，
由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：
；
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则､､彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，
所求概率即是发生的条件下发生的概率：2
3
4
5
6
7
8
9
30
45
60
75
得分
93
94
95
96
97
98
人数
2
2
3
1
1
1
2
3
4
5
0
1
2
3
X
0
1
2
P
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
P