人教版数学九上期末复习讲练专项10 二次函数和线段和差最值问题（2份，原卷版+解析版）

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“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等 一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
“两点定点一定长”
模型一：当两定点 A、B 在直线l异侧时，在直线l上找一点 P，使 PA+PB 最小。

作法：连接AB交直线l 于点 P，点P即为所求 作的点。
结论：PA+PB值最小
模型二：
作法：作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’与直线l相交的点P即为所求
结论：AP+PB’值最小
模型三：
当两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使 最大。
作法：接 AB并延长交直线l于点 P，点P即为所求作的点。
结论： 的最大值为 AB。
当 l 两B定点 A、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点 P，使 最 大。
作法：作点B关于直线l的对称点 B′，连接 AB′并延长交直线于点 P，点P即为所求作的点。
结论： 的最 大值为 AB′
模型四：

当 l 两定点 A、B 在直线l同侧时，在 直线l上找一点 P，使 最小。
作法：连接 AB，作AB的垂直平分 线交直线l于点 P，点 P 即为 所求作的点。
结论： 的最小值为 0
【考点1 线段最值问题】
【典例1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点C，交x轴于A、B两点，A（﹣2，0），a+b＝，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），ME∥y轴，交直线BC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段ME的最大值；
【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+4，
则，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）y＝﹣x2+x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4或﹣2，
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0）、（0，4），
设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
设点M（x，﹣x2+x+4），则点E（x，﹣x+4），
则ME＝（﹣x2+x+4）﹣（x﹣4）＝﹣x2+2x，
∵，故ME有最大值，当x＝2时，ME的最大值为2；
【变式1-1】（2021•柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．
（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．
①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？
【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，
∴4＝3+m．
∴m＝1．
设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．
∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，
∴4＝a（3﹣1）2，
∴a＝1．
∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．
即y＝x2﹣2x+1．
（2）①设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE．
∴PE＝h＝yP﹣yE
＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）
＝﹣x2+3x．
即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．
②存在．∵h＝﹣（x﹣）2+，
又∵a＝﹣1＜0，
∴x＝时，h的值最大，最大值为．
【变式1-2】（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；
【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，
，
解得，
∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设BC的解析式为y＝kx+b，
将B，C的坐标代入函数解析式得，
，
解得，
∴BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
当n＝时，PM最大＝，
∴线段PM的最大值；
【典例2】（2020秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，
解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3①；
（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，
则TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC为最大，
故TC﹣TB的最大值为AC＝＝，
故答案为；
【变式2】（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
﹣12＝﹣6a，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．
（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），
∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，
∴点P在直线x＝上，
∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，
此时点P为直线AC与直线x＝的交点，
∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴P（，﹣5）
【典例3】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线及直线BC的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．求线段PN的最大值；
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，
∴B（3，0），
设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵PQ⊥x轴，
∴PQ∥y轴，
∴∠PQN＝∠BCO＝45°，
∵PN⊥BC，
∴PN＝PQ•sin∠PQN＝（﹣t2+3t）•sin45°＝﹣（t﹣）2+，
∵＜0，
∴当t＝时，PN的最大值为；
【变式3】（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
当y＝0时，﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，
，
∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；
（2）当a＝1时，2×1﹣b＝1，
∴b＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），
∴OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，
设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），
∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，
∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，
当m＝﹣1时，QD有最大值是，
当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣2＝﹣2，
综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．
【考点2 线段和最小】
【典例4】（2019秋•东莞市校级期末）已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B关于直线x＝1对称，
连接BC交直线x＝1于P点，则PA＝PB，
∵PA+PC＝PB+PC＝BC，
∴此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则满足条件的P点坐标为（1，﹣2）；
【变式4-1】（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；
（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，
函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），
将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，
当y＝0时，x＝，
故点E（，0），
则EC+ED的最小值为DC′＝；
【变式4-2】（2016•黑龙江二模）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，
解得：b＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2．
∵y＝x2﹣x﹣2＝（ x2﹣3x﹣4 ）＝，
∴顶点D的坐标为 （，﹣）．
（2）设点C关于x轴的对称点为C′，直线C′D的解析式为y＝kx+n，
则，
解得：．
∴y＝﹣x+2．
∴当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得：x＝．
∴m＝．
【典例5】（2022•恩施州模拟）如图1，已知抛物线．点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C．
（1）直接写出h，k的值；
（2）如图1，若点D的坐标为（3，m），点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴h＝1，
∴y＝（x+1）2+k，
∵是抛物线与y轴的交点，
∴+k＝，
∴k＝1；
（2）存在最小值，理由如下：
由（1）可知y＝（x+1）2+1，
作C点关于直线x＝﹣的对称点C'，连接C'D交抛物线对称轴于点K，连接CQ，
由对称性可知C'K＝CQ，
∴CQ+KQ+KD＝C'K+KD+KQ≥C'D+KQ，
当C'、K、D三点共线时，CQ+KQ+KD的值最小，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴KQ＝1，
∵D（3，5），CD⊥x轴，
∵C（3，0），
∴C'（﹣4，0），
∴C'D＝，
∴CQ+KQ+KD的最小值为+1，
设直线C'D的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
∴K（﹣1，），
∴Q（0，）；
【变式5】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：
∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，
∴四边形CC'QP是平行四边形，
∴CP＝C'Q，
∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，
∵B，Q，C'共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，
∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，
∴C'（0，3），
∵B（4，0），
∴BC'＝＝5，
∴BC'+PQ＝5+1＝6，
∴CP+PQ+BQ最小值为6；
【考点3 周长最值问题】
【典例6】（2020春•五华区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣3上，
∴b＝﹣2，
∴抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标（1，﹣4）；
（2）对于y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝3或﹣1，
∴B（3，0），
由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，
∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM＝BC为最小值，而BC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，
设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣2，故点M（1，﹣2）．
【变式6-1】（2021•富拉尔基区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为 多少？
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵△ACM周长的值最小，
∴MC+AM的值最小，
即点M即为直线BC与抛物线对称轴的交点，
∴△ACM周长的最小值为BC+AC，
∵点B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC＝＝3，AC＝＝，
∴△ACM周长的最小值为，
故答案为：；
【变式6-2】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，
∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，
∴1+3＝﹣，1×3＝，
∴a＝1，b＝﹣4，
∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；
（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，3）．
∵点A、B关于对称轴对称，
∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC＝BC的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），
则，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵抛物线的对称轴为直线x＝2．
∴当x＝2时，y＝1．
∴抛物线对称轴上存在点M（2，1）符合题意，
∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．
∴AC＝＝，BC＝＝3，
∴AC+BC＝+3，
∴在抛物线的对称轴上存在点M，使△ACM的周长最小，△ACM周长的最小值为+3；
【典例7】（2022春•衡阳期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，3）．
∵抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点，
∴，
解得．
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+3．
（2）∵A（4，0），B（0，3）．
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5．
∵ED⊥AB，
∴∠EDM＝∠AOB＝90°，
∵∠DEM+∠EMD＝∠FMA+∠BAO＝90°，∠FMA＝∠EMD，
∴∠DEM＝∠BAO，
∴△AOB∽△EDM，
∴AO：OB：AB＝ED：DM：EM＝4：3：5，
设E的横坐标为t，则E（t，﹣t2+t+3），
∴M（t，﹣t+3），
∴EM＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t．
∴△DEM的周长为：ED+DM+EM＝EM＝﹣（t﹣2）2+，
∴当t＝2时，△DEM的周长的最大值为．
【变式7】（2022春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A，D两点，其中点D（3，﹣4）．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）点G为抛物线上一点，且在线段BC上方，过点G作GH∥y轴交BC于H，交x轴于点N，作GM⊥BC于点M，求△GHM周长的最大值；
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A点，且点A在x轴上，
∴A（﹣1，0）；
将A（﹣1，0）和D（3，﹣4）代入抛物线C1：y＝ax2+bx+2，
∴，解得，
∴抛物线C1：y＝﹣x2+x+2．
（2）由（1）知抛物线C1：y＝﹣x2+x+2．
令y＝0，解得x＝﹣1或x＝2，
∴B（2，0）；
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2）．
∴OB＝OC＝2，直线BC的解析式为：y＝﹣x+2；
∴△OBC是等腰直角三角形，且∠OBC＝∠OCB＝45°；
∵GH∥y轴，
∴∠GNB＝90°，
∴∠BHN＝45°，
∵GM⊥BC，
∴∠GMH＝90°，
∵∠MGH＝∠GHM＝45°，
∴GM＝MH＝GH；
设点G的横坐标为t，则G（t，﹣t2+t+2），H（t，﹣t+2），
∴GH＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1．
∵﹣1＜0，
∴当t＝1时，GH有最大值1；
∵△GHM的周长为：GM+MH+GH＝（+1）GH，
∴△GHM周长的最大值为+1．
1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；
【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，
，
解得，
∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，
将B，C的坐标代入函数解析式得，
，
解得，
∴BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
当n＝时，PM最大＝，
∴线段PM的最大值；
2．（2022•宁远县模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
【解答】解：（1）∴二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），
∴，
解得：．
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴x＝﹣＝﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），
∴C、D关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
连接AC与对称轴的交点就是点P，
此时PA+PD＝PA+PC＝AC＝＝＝3．
∴PA+PD的最小值为3；
3．（2022•昭平县二模）如图1，对称轴为直线x＝1的抛物线经过B（3，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线对称轴上的一点，使PA+PC取得最小值，求点P的坐标；
【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，4）代入：4＝﹣3a，
a＝﹣，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）如图，点A与点B关于对称轴直线x＝1对称，连接BC，交抛物线对称轴于点P，连接PA，即点P为所求点，此时PA+PC＝PB+PC＝BC的值最小，
∵B（3，0）、C（0，4），
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+4，
当x＝1时，y＝，
∴P点的坐标为（1，）；
4．（2022春•石鼓区校级月考）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．
【解答】解：（1）将（﹣3，0），（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）∵y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
连接BD，交对称轴于点P，
∵点A坐标为（﹣3，0），抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴点B坐标为（1，0），
∴BD＝＝3，
又∵AD＝＝，
∴△PAD周长的最小值为3+．
5．（2022•江阴市校级一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；
【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）．
（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，
过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，
∵A、B关于直线x＝1对称，
∴AQ′＝BQ′，
∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，
∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，
∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，
在Rt△BOC′中，BC′＝，
＝
＝．
∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，
此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，
∴AQ+QP+PC的最小值为 +1．
6．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴点B的坐标为（2，8）；
（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12），
此时，PA﹣PB＝AB＝＝3．
7．（2022•玉州区一模）如图，抛物线y＝﹣x2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．
（1）求A、B两点坐标；
（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）当y＝0，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
（2）设点P（m，﹣m2+m+4），则点 Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
P～N＝PQ•sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴PN有最大值，
当m＝2时，PN的最大值为．
8．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC
＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，
∵×3×PE＝，
∴PE＝，
∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；