人教版数学九上期末复习讲练专项11 二次函数与几何综合-面积问题（2份，原卷版+解析版）

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【方法1直接法】
一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边
【方法2 铅锤法】
（1）求 A、B 两点水平距离，即水平宽；
（2）过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D，可得点 D 横坐标同点 C；
（3）求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标；
（4）根据 C、D 坐标求得铅垂高
（5）
【方法3 其他面积方法】
如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．
如图2，同底三角形的面积比等于高的比．
如图3，同高三角形的面积比等于底的比．
如图1 如图2 如图3
【方法4 利用相似性质】
利用相似图形，面积比等于相似比的平方。
【方法1 铅锤法求面积】
【典例1】（聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC．又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8 （2）
【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；
（2）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，
∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠OCB，∴Rt△PFD∽Rt△BCO，
∴，
∴S△PDF＝•S△BOC，
而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，
∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，
即当PD取得最大值时，S△PDF最大，
将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，
设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），
则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，
当m＝2时，PD的最大值为4，
故当PD＝4时，
∴S△PDF＝PD2＝
【变式1-1】（娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
【答案】（1）：y＝x2﹣2x﹣3 （2）① ﹣m2+m+3 ②
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），
①当点P在第三象限时，
设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，
S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，
②当点P在第四象限时，
设PD交y轴于点M，
同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，
综上，S△POD＝﹣m2+m+3，
∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；
【变式1-2】（2021秋•龙江县校级期末）综合与探究
如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；
（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是 （，） ；
（3）点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．
（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
设BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
（2）如图1中，
由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，
连接BC交直线x＝于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∴x＝时，y＝﹣+4＝，
∴此时P（，）．
故答案为：（，）；
（3）设Q（m，﹣m2+3m+4）过Q作QD⊥x轴，交BC于点D，则D（m，﹣m+4），
∴QD＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
，
当m＝2时，S△BCQ取最大值，最大值为8，
∴△BCQ面积的最大值为8；
【变式1-2】（2022春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标；
【解答】解：（1）∵OC＝3，
∴C（0，﹣3），
将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC，
∴当S△PBC面积最大时，S四边形PCAB的面积最大，
设BC的直线解析式y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t，t﹣3），
∴当PQ最大时，S△PBC面积最大，
∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，PQ取最大值，
∴P（，﹣），
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝4，
∴S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；
【方法2 其他方法】
【典例2】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
【答案】（1） y＝﹣x2+2x+3 ；x＝1（2）P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）
【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，
函数的对称轴为：x＝1；
（2）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝3：5或5：3，
则AE＝或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣6或﹣2，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②
联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．
【变式2-1】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；
【答案】（1） y＝﹣x2+5x+6 （2）P（，）
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x+6过点C，
∴C（0，6），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，
设P（m，﹣m2+5m+6），则D（m，﹣m+6），
∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，
∵△PBD与△BDE的面积之比为1：2，
∴PD：DE＝1：2，
∴PE：DE＝3：2，
∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），
解得，m2＝6（舍去），
∴P（，）；
【典例3】（淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3
（2）G的坐标为（0，）或（﹣15，﹣45）．
【解答】解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+3
将点B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a＝﹣
∴二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+3
（2）存在点G，
当点G在x轴的上方时，设直线DG交x轴于P，设P（t，0），作AE⊥DG于E，BF⊥DG于F．
由题意：AE：BF＝3：5，
∵BF∥AE，
∴AP：BP＝AE：BF＝3：5，
∴（﹣3﹣t）：（5﹣t）＝3：5，
解得t＝﹣15，
∴直线DG的解析式为y＝x+，
由，
解得或，
∴G（0，）．
当点G在x轴下方时，如图2所示，
∵AO：OB＝3：5
∴当点G在DO的延长线上时，存在点G使得S△ADG：S△BDG＝3：5，
此时，DG的直线经过原点，设直线DG的解析式为y＝kx，
将点D代入得k＝3，
故y＝3x，
则有
整理得，（x﹣1）（x+15）＝0，
得x1＝1（舍去），x2＝﹣15
当x＝﹣15时，y＝﹣45，
故点G为（﹣15，﹣45）．
综上所述，点G的坐标为（0，）或（﹣15，﹣45）．
【变式3】（2021秋•南阳）如图，对称轴为x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．
①求抛物线的解析式．
②若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．
【答案】（1）点B的坐标为（1，0）
（2）①y＝x2+2x﹣3②点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x＝﹣1对称，
∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）①a＝1时，
∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，
∴＝﹣1，解得b＝2，
将B（1，0）代入y＝x2+2x+c，
得1+2+c＝0，解得c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
②∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3，
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），
∵S△POC＝4S△BOC，
∴×OC×|x|＝4××OC×OB，
即×3×|x|＝4××3×1，
∴|x|＝4，
解得x＝±4，
当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21，
当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5，
∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；
1.（2021秋•日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．
（1）求M点的坐标；
（2）求△MBC的面积；
【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴M（2，9）；
（2）令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，
解得 x＝﹣1或x＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
令x＝0，得y＝﹣x2+4x+5＝5，
∴C（0，5），
过点M作ME⊥y轴于点E，
∴S△MBC＝S四边形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC＝＝15；
2．（2022•东方二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求△CBE的面积的最大值；
【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将B，C两点的坐标代入得：，
解得：，
∴直线BC的解解析式为y＝x﹣3，
设点F（x，x﹣3），点E（x，x2﹣2x﹣3），
∴EF＝（x﹣3﹣x2+2x+3）＝﹣x2+3x，
∴S△CBE＝S△CEF+S△BEF＝EF•OB＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，
∵a＝﹣＜0，且0＜x＜3，
∴当x＝时，S△CBE有最大值，最大值是，此时E点坐标为（，﹣）；
3．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设P（m，0），则PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
＝PA•CF﹣PA•QE
＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）
＝﹣（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴当m＝﹣1时 S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
4．（2022春•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB交于点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求△PMB面积的最大值；
【解答】解：（1）∵点A（0，5），B（5，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）如图，
∵A（0，5），B（5，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
∵点M是抛物线的对称轴与直线AB的交点，
∴M（2，3），
由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5，
过点P作PH∥y轴交AB于H，
设P（m，﹣m2+4m+5）（0＜m＜5），
∴H（m，﹣m+5），
∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，
∴S△PMB＝PH（xB﹣xM）＝（﹣m2+5m）（5﹣2）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△PMB最大＝，
即△PMB面积的最大值为；
5．（2022春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标；
【解答】解：（1）∵OC＝3，
∴C（0，﹣3），
将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC，
∴当S△PBC面积最大时，S四边形PCAB的面积最大，
设BC的直线解析式y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t，t﹣3），
∴当PQ最大时，S△PBC面积最大，
∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，PQ取最大值，
∴P（，﹣），
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝4，
∴S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；
6．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN＝2t，△MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；
【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，
令y＝0，即﹣x+3＝0，
解得：x＝3，
令x＝0，得y＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，
∴A（﹣1，0）．
将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知：A（﹣1，0），B（3，0），D（1，0），
∴BM＝|3﹣t|，
∵S△MNB＝BM•DN＝，即•|3﹣t|•2t＝，
当t＜3时，•（3﹣t）•2t＝，
化简得：4t2﹣12t+15＝0，
∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×15＝﹣96＜0，
∴方程无解；
当t＞3时，•（t﹣3）•2t＝，
解得t1＝，t2＝（舍），
∴DN＝2t＝3+2，
∴点M的坐标为（，0），点N的坐标为（1，3+2）；
7．（2022•烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；