人教版数学九上期末复习讲练专项14 二次函数与几何综合-矩形与菱形存在问题（2份，原卷版+解析版）

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考点1 矩形存在性问题
1.矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形；
（2）对角线相等的平行四边形；
（3）有三个角为直角的四边形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
（AC为对角线时）
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下：
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；
（2）1个定点+3个半动点．
思路1：先直角，再矩形
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．
【例题】已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
解：点 C 满足以 A、B、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的 点 C 有
在点 C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点 D 的坐标．
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．
无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．
考点2 菱形存在性问题
菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．坐标系中的菱形：
有 3 个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有 3 个未知量，与矩形相同．
3．解题思路：
（1）思路 1：先等腰，再菱形
在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确
定第 3 个点，再确定第 4 个点．
（2）思路 2：先平行，再菱形
设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻
边相等，得到方程组．
方法总结：
菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。
【考点1 矩形的存在性问题】
【典例1】（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2； （2）点M坐标为（﹣4，6）
【解答】解：（1）把A（0，﹣2），B（4，0）代入抛物线y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在．过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线相较于M，则M即为所求．
在y＝﹣2x+8中，令x＝0，则y＝8，
∴C（0，8），
∵A（0，﹣2），B（4，0），
∴AB2＝42+22＝20，BC2＝42+82＝80，AC2＝102＝100，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
∵CM∥AB，AM∥BC，
∴四边形ABCM是矩形，
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
∵CM∥AB，
∴直线CM的解析式为y＝x+8，
∵AM∥BC，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
联立方程组，
解得：，
∴点M坐标为（﹣4，6）．
【变式1-1】（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P（﹣，）；（3）P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线交x轴于点A，B（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，
∴C（0，3），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，3）代入抛物线的解析式，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图（2）中，连接OP．设P（m，﹣m2﹣2m+3），
S＝S△PAO+S△POC+S△OBC，
＝×3×（﹣m2﹣2m+3）××3×（﹣m）+×1×3
＝（﹣m2﹣3m+4）
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P（﹣，）；
（3）存在，理由如下：
如图3﹣1中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P（﹣1，4），N（0，4）；
如图3﹣2中，当四边形PMCN是矩形时，设M（﹣1，n），P（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t+1，0），
由题意，，
解得，消去n得，3t2+5t﹣10＝0，
解得t＝，
∴P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
综上所述，满足条件的点P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
【变式1-2】（辽阳）如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） y＝x2﹣x﹣3 （2）点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，
则A（3，0）B（0，﹣3），
把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：
抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3…①，
则：C（6，0）；
（2）存在．
①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，
设：P′（m，n），
n＝m2﹣m﹣3…③，
P′C所在直线的k1＝，
P′B所在的直线k2＝，则：k1•k2＝﹣1…④，
③、④联立得：＝0，
解得：m＝0或6，
这两个点分别和点B、C重合，
与题意不符，故：这种情况不存在，舍去．
②当BC为矩形一边时，
情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，
直线BC所在的方程为：y＝x﹣3，
则：直线BP的k为﹣2，所在的方程为y＝﹣2x﹣3…⑤，
联立①⑤解得点P（﹣4，5），
则Q（2，8），
情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，
此时，P″在抛物线上，其坐标为：（﹣10，32），Q″坐标为（﹣16，29）．
故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．
【考点2 菱形的存在性问题】
【典例2】（10分）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）交于点B，如图所示．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）若点D在平面内，点C在直线AB上，平面内是否存在点D使得以O，B，C，D为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S与m的函数表达式为S＝﹣m2+m+，S的最大值是；（3）点D的坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，）或（﹣，）
【解答】解：（1）∵直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴A（1，0）、B（0，3）；
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，
∴a+4＝3，
∴a＝﹣1，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点M作MH⊥x轴于点H，如图所示：
设点M（m，﹣m2+2m+3），
则S＝S梯形BOHM﹣S△AMH
＝（3﹣m2+2m+3）×m﹣（m﹣1）×（﹣m2+2m+3）
＝﹣m2+m+，
∵﹣＜0，
∴S有最大值，当m＝时，S的最大值是．
∴S与m的函数表达式为S＝﹣m2+m+，S的最大值是；
（3）设点C的坐标为（m，﹣3m+3），而点B和点O的坐标分别为（0，3）和（0，0），
①当OB是菱形的一条边时，
∵OB＝BC＝3，或OB＝OC＝3，
∴9＝（m﹣0）2+（﹣3m+3﹣3）2，或m2+（﹣3m+3）2＝9，
∴m＝±或m＝或m＝0（舍），
∴点D的坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，）；
②当OB是菱形的对角线时，CD必在OB的中垂线上，
∴yC＝，
∴点C（，），
此时BC2＝+＝＝CO2，
此时以O、C、B、D为顶点的四边形是菱形，则点D（﹣，）．
综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，）或（﹣，）
【变式2-1】（2020秋•西林县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若M为该抛物线上的一动点，在（2）的条件下，求|PM﹣AM|的最大值．
【答案】（1）（2）P（5，3）；
（3）|PM﹣AM|的最大值为5．
【解答】解：（1）由题意得：A（1，0），B（0，3），C（﹣4，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
代入点B（0，3），得：﹣4a＝3，
解得a＝，
∴；
（2）若AP为菱形的对角线，则AB和AC为邻边，
∵AB＝，
∴此种情况不能构成菱形，
若BP为菱形的对角线，则AB和BC为邻边，
∵AB＝，
∴此种情况不能构成菱形，
若CP为菱形的对角线，则AC和BC为邻边，
∵AC＝BC＝5，
∴此种情况可以构成菱形，
设P（x，y），由中点坐标公式得：
，
解得：，
∴P（5，3）；
（3）当A，P，M不共线时，点A，P，M构成三角形，
∴|PM﹣AM|＜AP，
当A，P，M共线时，|PM﹣AM|＝AP，
∴|PM﹣AM|的最大值为AP，
∵A（1，0），P（5，3），
∴AP＝，
∴|PM﹣AM|的最大值为5．
【变式2-2】（2021•柳南区校级模拟）综合与探究：
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣6
（2）存在；点N坐标为，，（2，0），．
【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝6，
∴A（﹣2，0），C（0，﹣6），
将A（﹣2，0），C（0，﹣6），代入y＝x2+bx+c，
得，
解得：b＝﹣1，c＝﹣6，
∴抛物线得解析式为：y＝x2﹣x﹣6．
（2）存在；点N坐标为，，（2，0），．
∵A（﹣2，0），C（0，﹣6），
∴AC＝．
①若AC为菱形的边长，如图2，
则MN∥AC，且MN＝AC＝．
N1（），N2（），N3（2，0）．
②若AC为菱形的对角线，如图3，
则AN4∥CM4，AN4＝CN4，
设N4（﹣2，n），
则﹣n＝，
解得：n＝．
∴N4（﹣2，）．
综上所述，点N坐标为或或（2，0）或．
【变式2-3】（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）P（1，2）；
（3）Q的坐标为：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．
如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．
∵AP＝BP，
∴△PBC周长的最小值是AC+BC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
∴AC＝3，BC＝．
∴△PBC周长的最小值是：3+．
抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴P（1，2）；
（3）存在．
设P（1，t），Q（m，n）
∵A（3，0），C（0，3），
则AC2＝32+32＝18，
AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，
PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，
①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图2，
∴t2﹣6t+10＝18，
解得：t＝3±，
∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），
∵四边形ACPQ是菱形，
∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，
当P1（1，3﹣）时，
∴＝，＝，
解得：m＝4，n＝﹣，
∴Q1（4，﹣），
当P2（1，3+）时，
∴＝，＝，
解得：m＝4，n＝，
∴Q2（4，），
②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图3，
∴t2﹣6t+10＝t2+4，
解得：t＝1，
∴P3（1，1），
∵四边形APCQ是菱形，
∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与CQ中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝2，n＝2，
∴Q3（2，2），
③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图4，
∴t2+4＝18，
解得：t＝±，
∴P4（1，），P5（1，﹣），
∵四边形ACQP是菱形，
∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝﹣2，n＝3，
∴Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣），
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．
1．（2022•汉川市模拟）抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点A，B两点．与y轴交于C，D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）点M是y轴上一动点，点Q为平面内任意一点，当以A，D，M，Q为顶点的四边形是矩形，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1） A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）；
（2）点Q的坐标为（0，+2）或（0，﹣+2）或（﹣2，）或（2，）．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4）；
（2）设M（0，m），Q（x，y），
①当AD、MQ为矩形的对角线时，
，
∴x＝0，y＝4﹣m，
∵AD＝MQ，
∴2＝|y﹣m|，
∴y＝+2或y＝﹣+2，
∴Q（0，+2）或Q（0，﹣+2）；
②当AM、DQ为矩形的对角线时，
，
∴x＝﹣2，y＝m﹣4，
∵AM＝DQ，
∴1+m2＝9+（y﹣4）2，
∴y＝，
∴Q（﹣2，）；
③当AQ、DM为矩形的对角线时，
，
∴x＝2，y＝4+m，
∵AQ＝DM，
∴9+y2＝1+（4﹣m）2，
∴y＝，
∴Q（2，）；
综上所述：点Q的坐标为（0，+2）或（0，﹣+2）或（﹣2，）或（2，）．
2．（2022•巨野县模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+n经过B、C两点．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴，分别交x轴，BC于点E，F．
（1）求直线BC及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3．
（2）点M的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3．
∴C（0，3）．
∵直线y＝﹣x+n经过C点，
∴n＝3．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．
令y＝0，则x＝3．
∴B（3，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，
∴．
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在．
∵C，D，M均在抛物线上，以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，
∴过点B且垂直于直线BC的直线与抛物线的交点或过点C且垂直于直线BC的直线与抛物线的交点即为点M．
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴设过点C且垂直于直线BC的直线为y＝x+3．
∴．
解得：（舍去）或．
∴M（1，4）．
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴设过点B且垂直于直线BC的直线为y＝x﹣3．
∴．
解得：（舍去）或．
∴M（﹣2，﹣5）．
综上，存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，点M的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
3．（2022春•兴宁区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
S＝•PM•OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；
（3）点E的坐标为（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：，
解得：，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）如图1，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为：y＝kx+n，
∴，
∴，
∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵P点的横坐标为m，
∴P的坐标是（m，m2+2m﹣3），则M的坐标是（m，﹣m﹣3），
∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，
∴﹣3＜m＜0，
∴S＝•PM•OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；
（3）分两种情况：
①如图2，四边形CDEB是菱形，
设D（t，﹣t﹣3），则E（t+1，﹣t），
∵四边形CDEB是菱形，
∴CD＝BC，
∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32，
∴t＝±，
∵t＜0，
∴t＝﹣，
∴E（﹣+1，）；
②如图3，四边形CBDE是菱形，
设D（t，﹣t﹣3），则E（t﹣1，﹣t﹣6），
∵四边形CBDE是菱形，
∴CE＝BC，
∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32，
∴t＝0（舍）或﹣2，
∴E（﹣3，﹣4）；
综上所述，点E的坐标为（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．
4．（2021秋•九龙坡区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．
【答案】（1） y＝﹣x2+2x+3； （2）P（，）；
（3）F点坐标为（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+3，
∵函数的对称轴为直线x＝1，
∴D（1，2），
过点P作x轴的垂线，交BC于点Q，
设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝﹣t2+3t，
∴S△PCD＝×1×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S△PCD的最大值为，
此时P（，）；
（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4向右平移1个单位得到新抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+4，
联立，
解得x＝，
∴E（，），
∵新抛物线的对称轴为直线x＝2，
设F（2，m），
∴DE2＝+＝，DF2＝1+（m﹣2）2，EF2＝+（m﹣）2，
∵以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况：
①当EF、FD为邻边，此时EF＝FD，
∴1+（m﹣2）2＝+（m﹣）2，
解得m＝，
∴F（2，）；
②当ED、EF为邻边，此时ED＝EF，
∴＝+（m﹣）2，
解得m＝或m＝2，
∴F（2，2）或F（2，），
设直线ED的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣，
当x＝2时，y＝，
∴F（2，2）；
③当DE、DF为邻边，此时DE＝DF，
∴＝1+（m﹣2）2，
解得m＝2+或m＝2﹣，
∴F（2，2+）或F（2，2﹣）；
综上所述：F点坐标为（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．
5.（2021秋•开州区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），AO：CO：BO＝1：2：3．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接BE．点M为原抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，以B、E、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4 （2）N的坐标为（5，﹣）或（﹣1，）或（7，4）或N（7，1）．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），AO：CO：BO＝1：2：3．
∴B（6，0），C（0，4）
将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，4）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）由y＝﹣x2+x+4知原抛物线对称轴是直线x＝2，
∵抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，且A（﹣2，0），
∴抛物线向右平移了2个单位，即平移后的抛物线是y＝﹣（x﹣2）2+（x﹣2）+4＝﹣x2+x，
解得，
∴E（3，5），
设M（2，s），N（m，n），而B（6，0），
①当BE为矩形的边时，
∵点E（3，5）向右平移3个单位向下平移5个单位得到点B（6，0），
∴点M（N）向右平移3个单位向下平移5个单位得到点N（M），且EN＝BM（EM＝BN），
∴或，
解得或，
∴N（5，﹣）或（﹣1，）；
②当BE为对角线时，BE的中点即是MN的中点，且BE＝MN，
∴，
解得或，
∴N（7，1）或（7，4），
综上所述，N的坐标为（5，﹣）或（﹣1，）或（7，4）或N（7，1）．
6.（2021秋•讷河市期中）综合与探究：如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．
①当△ANC面积最大时的P点坐标为 ；最大面积为 ．
②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） y＝﹣x2﹣3x+4 （2）① （﹣2，2）；8．
②点D的坐标为（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0）代入y＝x+c，
得c＝4，
将A（﹣4，0）和c＝4代入y＝﹣x2+bx+c，
得﹣16﹣4b+4＝0，
解得b＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4．
（2）①如图2，设点M的坐标为（x，0）（﹣4＜x＜0），则P（x，x+4），N（x，﹣x2﹣3x+4），
∴PN＝﹣x2﹣3x+4﹣（x+4）＝﹣x2﹣4x，
∴S△ANC＝PN•AM+PN•OM＝PN•OA＝×4（﹣x2﹣4x）＝﹣2（x+2）2+8，
∴当x＝﹣2时，S△ANC最大＝8，此时P（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）；8．
②存在，
如图3，菱形BDCF以BC为对角线，连接BC、DF交于点I，DF交y轴于点R，
当y＝0时，由﹣x2﹣3x+4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），
∴CB＝＝，
∵DF与BC互相垂直平分，
∴I为BC的中点，
∴I（，2），CI＝CB＝，
∵∠CIR＝∠COB＝90°，∠RCI＝∠BCO，
∴△ICR∽△OCB，
∴＝，
∴CR＝＝＝，
∴OR＝4﹣＝，
∴R（0，），
设直线DF的解析式为y＝kx+，则k+＝2，
解得k＝，
∴直线DF的解析式为y＝x+，
由得，
∴F（，），
∵点D与点F（，）关于点I（，2）对称，
∴D（，）；
如图4，菱形BCDF以CF为对角线，连接BD交CF于点J，连接AD，
∵BD与CF互相垂直平分，
∴∠AJB＝∠AJD＝90°，JB＝JD，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠JAB＝∠JBA＝45°，
∴JB＝JA，
∴JD＝JA，
∴∠JAD＝∠JDA＝45°，
∴∠DAB＝90°，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴AD＝AB＝1+4＝5，
∴D（﹣4，5）；
如图5，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的左侧，设DF交x轴于点T，
∴CF＝CB＝，
作FL⊥y轴于点L，作DK⊥FL于点K，交x轴于点Q，则∠CLF＝90°，
∴∠LFC＝∠LCF＝45°，
∴LC＝LF，
∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，
∴LF＝LC＝，
∵FL∥OA，DF∥BC，
∴∠DFK＝∠ATF＝∠CBO，
∵∠DKF＝∠COB＝90°，DF＝CB，
∴△DKF≌△COB（AAS），
∴KF＝OB＝1，KD＝OC，
∵QK＝OL，
∴QD＝LC＝，LK＝﹣1＝，
∴D（，）；
如图6，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的右侧，
作FL⊥y轴于点L，作DV⊥y轴于点V，作FK⊥DV于点K，则∠CLF＝90°，
∵∠LCF＝∠OCA＝45°，
∴∠LCF＝∠LFC＝45°，
∴LF＝LC，
∵CF＝CB＝，
∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，
∴LF＝LC＝，
∵FK∥OC，FD∥CB，
∴∠DFC＝∠BCA，∠KFC＝∠OCA，
∴∠DFK＝∠BCO，
∵DF＝BC，
∴△DFK≌△BCO（AAS），
∴FK＝CO＝4，KD＝OB＝1，
∴DV＝1+＝，OV＝4+﹣4＝，
∴D（，），
综上所述，点D的坐标为（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．