人教版数学九上期末复习讲练专项15 二次函数应用（4大类型）（2份，原卷版+解析版）

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考点1 运动类
（1）落地模型
最值模型
考点2 经济类
销售问题常用等量关系 ：
利润=收入-成本； 利润=单件利润×销量 ；
考点3 面积类
考点4 拱桥类
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
【考点1 落地模型】
【典例1】（2020九上·榆次期末）在晋中市中考体育训练期间，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度 （米）与水平距离 （米）之间的关系式为 ，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．3米B．2米C．10米D． 米
【变式1-1】（2021九上·颍上月考）如图，某运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝-x2＋x＋6，则此运动员将铅球推出的距离是 ．
【变式1-2】（2021九上·栖霞期中）如图，若被击打的小球飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）之间具有的关系为 ，则小球从飞出到落地所用的时间为 ．
【变式1-3】（2020九上·杨浦期末）广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离 （米）的函数解析式是 ，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）
A．1米B．2米C．5米D．6米
【考点2 最值模型】
【典例2】（2019九上·蜀山月考）飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数表达式是s=60t-1.5t2，则飞机着陆后滑行直到停下来滑行了 米．
【变式2-1】（2021秋•信阳期中）烟花厂为建党成立100周年特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+8t．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3sB．4sC．5sD．6s
【变式2-2】（2021秋•越秀区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 米．
【变式2-3】（2022九上·萧山期末）竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为，其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4秒D．第4.5秒
【考点3 经济类】
【典例3】（2021九上·舟山期末）某公司今年国庆期间在网络平台上进行直播销售猕猴桃，已知猕猴桃的成本价格为8元／kg，经销售发现：每日销售量y（kg）与销售单价x（元／kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，销售单价不低于成本价且不高于24元／kg．设公司销售猕猴桃的日获利为w（元）.
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种猕猴桃日获利w最大？最大利润为多少元？
【变式3-1】（2021九上·鄂城期末）绿色生态农场生产并销售某种有机生态水果.经市场调查发现，该生态水果的周销售量y（千克）是销售单价x（元/千克）的一次函数.其销售单价、周销售量及周销售利润w（元）的对应值如表.请根据相关信息，解答下列问题：
（1）这种有机生态水果的成本为 元/千克；
（2）求该生态水果的周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；
（3）若农场按销售单价不低于成本价，且不高于60元/千克销售，则销售单价定为多少，才能使销售该生态水果每周获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
【变式3-2】（2021九上·南充期末）在实施乡村振兴战略和移动互联快速进化的大背景下，某电商平台以10元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经前期销售发现日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间满足一次函数关系，整理部分数据如下表：
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）为了稳定物价，有关管理部门规定这种农产品利润率不得高于50%，该平台应如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润w最大？（利润=售价－成本，利润率=利润÷成本×100%）
【变式3-3】（2021九上·莱芜期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为（元）．
（1）求出每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？
【典例4】（2021九上·砚山期末）某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨1元，平均每天就少售出2件．
（1）若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？
（2）该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
（3）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，那么销售价定位多少元时，该公司每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【变式4-1】（2021九上·中山期末）某商场购进一批进货价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格．调查发现，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210件，假定每月销售量y（件）是销售价格x（元/件）的一次函数．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）销售价定为多少元时，该商场每月获得利润最大？最大利润是多少？
【变式4-2】（2021九上·龙江期末）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）直接写出该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
【考点4 面积类】
【典例5】（2021九上·朝阳期末）如图，某矩形花园ABCD一边靠墙，墙长35m，另外三边用长为69m的篱笆围成，其中一边开有一扇宽为1m的门（不包括篱笆）．设矩形花园ABCD垂直于墙的一边AB长为xm，面积为．
（1）BC的长为 m（用含x的代数式表示）．
（2）求S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
（3）求花园面积S的最大值．
【变式5-1】（2021九上·朝阳期末）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝ m时，矩形土地ABCD的面积最大.
【变式5-2】（2021九上·历下期末）如图，用一段长36米的篱笆，围成一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，有最大值？并求出最大值．
【考点4 拱桥类】
【典例6】（2021九上·百色期末）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【变式6-1】（2021九上·和平期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2020九上·马山月考）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣ x2，当水位线在 AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（ ）
A．3mB． mC．4 mD．9m
【变式6-3】（2021九上·香洲期中）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，建立直角坐标系，抛物线可用y＝﹣ x2+bx+c表示．
（1）求抛物线的函数关系式和拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载集装箱后高为6m，宽为4m，若隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
1．（2020九上·合肥月考）据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=7.9（1＋2x）
B．y=7.9（1－x）2
C．y=7.9（1＋x）2
D．y=7.9＋7.9（1＋x）＋7.9（1＋x）2
2．（2020九上·淮北月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度y米与小球运动的时间x秒之间的关系式为 若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒D．第15秒
3．（2021九上·赣州期中）用一根长为 的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为 ，面积为 ，则 关于 的函数关系式是 ．
4．（2021九上·农安期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m.
5．（2019九上·大同期中）如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是 （写出顶点式和一般式均可）．
6.（2021秋•越秀区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 米．
7．（2021九上·无棣期末）为了迎接2022年春节，我县古城风景区内开发了冰上滑雪运动项目，某体育用品商店抓住这一商机购进一批滑雪板，若每件进价为50元，售价为66元，每星期可卖出40件．为了鼓励大家多参加冰上滑雪运动，同时降低库存，商家决定降价促销，根据市场调查，每件降价1元，每星期可多卖出4件．
（1）若设每件滑雪板降价x元，每星期的销售量为y件，写出y与x之间的函数关系式，（不用标出x的取值范围）；
（2）降价后，商家要使每星期的利润最大，应将售价定为每件多少元？最大销售利润多少？
8．（2021九上·吴兴期末）为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系.
（1）试写出y与x符合的函数表达式．
（2）若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大收入？最大收入为多少？
9．（2021九上·东城期末）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
10．（2021九上·盐湖期末）某企业生产了一套健身器材，通过实体店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该企业对这种健身器材的销售情况进行了为期30天的跟踪调查，其中实体店的日销售量y1（套）与时间x（x为整数，单位：天）的部分对应值如下表：
（1）已知y1与x满足二次函数关系，求y1与x的函数关系式．
（2）网上商店的日销售量y2（套）与时间x（x为整数，单位：天）的关系如图所示，求y2与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．
（3）在跟踪调查的30天中，设实体店和网上商店的日销售总量为y（套），求当x为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．
11.（2021九上·南召期末）某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一
面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4米，宽AB=3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米.
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用 表示.直接写出抛物线的函数表达式 .
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户每平方米的成本为50元.已知GM=2米，直接写出：每个B型活动板房的成本是 元.（每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场信息，这样的B型活动板房公司每月最多能生产 个，若以单价 元销售B型活动板房，每月能售出 个；若单价每降低 元，每月能多售出 个这样的B型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价 （元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润 （元）最大？最大利润是多少？
12．（2021九上·宁波期中）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝ （0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数表达式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数表达式；
②未来两年内，当月销售量P为时，月毛利润为w达到最大.
x（元／kg）
9
10
11
y(kg)
2100
2000
1900
销售单价x（元/千克）
40
50
周销售量y（千克）
180
160
周销售利润w（元）
1800
3200
销售价格x（元/千克）
12
13
14
15
16
日销售量y（千克）
1000
900
800
700
600
时间x（天）
0
5
10
15
20
25
30
日销售量y1（套）
0
25
40
45
40
25
0