人教版数学九上期末复习讲练专项18 利用垂径定理求线段长度（2份，原卷版+解析版）

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考点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.
符号语言：∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，
∴ AE＝BE,
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦（不是直径），且AE＝BE.
弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【典例1】（2021九上·温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.已知OC=5，OD=4，则弦AB的长为( )
A．3B．4C．5D．6
【变式1-1】（2021九上·平谷期末）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）
A．3B．2C．1D．
【变式1-2】（2022九上·东阳期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1B．3C．3或4D．1或7
【变式1-3】（2021九上·东营月考）如图，将一个半径为2cm的圆形卡片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2cmB． cmC． cmD． cm
【典例2】（2021九上·上高月考）《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深1寸，锯道尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.
【变式2-1】（2021九上·五常期末）如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是 cm．
【变式2-2】（2021九上·杭锦后旗月考）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，CD=4，EM=6，则所在圆的半径是 ．
【变式2-3】（2021九上·温州月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为 米.
【典例3】（2021九上·黔西南期末）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.
【变式3-1】（2020九上·广东开学考）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米，这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由.
1.（2021九上·宁波月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
2．（2021九上·余杭月考）如图，已知⊙O的半径为4，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E.若∠B＝22.5°，则CD长度为（ ）
A．B．4C．D．8
3．（2021九上·丰台期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量cm，cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 cm．
4.（2021九上·鄂尔多斯期中）如图，AB是⊙O的直径，弦 ，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为 ；
5．（2020九上·台山期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆的半径分别等于3和6，大圆的弦AB是小圆的切线，则 ．
6．（2021九上·长沙月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC长为 .
7.（2021九上·南宁月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为 cm.
8．（2021九上·香洲期末）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，求所在圆的半径．
9.（2020九上·金昌期中）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点.求证：AP=BP.
10.（2020九上·金华期中）2020年8月4日，台风“黑格比”来袭，东阳南马镇被雨水“围攻”．如图，当地有一座圆弧形拱桥，跨度AB=60m，拱高PM=18m，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30m时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4m时，问是否需要采取紧急措施？请说明理由．